Математику можно знать чисто механически, а можно любить всем сердцем. Очередной мой материал именно про эмоции и чувства.
Свойство, о котором я хочу рассказать, лично меня удивило не меньше, чем связь последовательности с золотым сечением. Итак, последовательность Фибоначчи:
Каждый элемент равен сумме двух предыдущих ( в обобщенном виде можно рассматривать и другие суммы). А что, если заменить сложение на вычитание? Получится, что каждый член на нечетной позиции равен члену из классической последовательности, а каждый четный - обратен:
Но это так, мелкая затравка. Ключевое свойство, о котором я хотел рассказать, можно заметить, если вычислить разность между квадратом числа Фибоначчи и произведением окружающих его членов последовательности:
Занимательно, да? Но что есть простое наблюдение без строгого математического доказательства? Сказано - сделано! В этом нам поможет замечательный метод математической индукции.
Сначала необходимо удостовериться, что формула (1) верна при n=1.
База индукции выполняется. Теперь, предполагая, что (1) верна при n, выведем из этого формулу для n+1:
Простое доказательство этого удивительного факта вызывает стойкое чувство математического наслаждения, ведь оно верно для всех чисел. Однако, это еще не всё! Да будет Вам известно, что последовательность Фибоначчи - это всего лишь частный случай т.н. рекуррентных λ-последовательностей, при т.н. λ=1.
Исследование этих последовательностей при других значениях λ даёт еще более удивительные результаты. Впрочем, это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!