Привет! Разберемся, как решать неравенства вот такого типа:
(3х - 7)^2 ≥ (5х - 9)^2
Итак, приступим! (В конце статьи краткая запись решения)
- Шаг №1
Первый шаг - это понять, что от нас хотят. Раз тут стоит знак больше или равно, то это неравенство, а значит, мы должны обозначить числовой промежуток, к которому может принадлежать “X”.
- Шаг №2
Сперва мы должны упростить выражение, чтобы работать было проще. Итак, приступим!
Перенесем все элементы в одну сторону. Напомню, что при переходе на противоположную сторону элемент должен поменять знак. То есть если справа мы видим (5х - 9)^2, то перенести влево должны - (5х - 9)^2. Справа у нас ничего не остается, а значит ставим ноль.
Итог шага №2: (3х - 7)^2 - (5х - 9)^2 ≥ 0
- Шаг №3
Теперь давайте раскроем скобки. Первая скобка раскрывается по формуле квадрата разности. Вспомним, как он раскрывается:
Вторая скобка раскрывается ровно по той же схеме;)
Итак, 9х^2 – 42х + 49 – (25х^2 – 90х + 81) ≥ 0
Поскольку перед второй скобкой стоит знак минус, то при её раскрытии нужно поменять знак элементов, стоящих внутри, на противоположный:
9х^2 – 42х + 49 – 25х^2 + 90х - 81 ≥ 0
Теперь приведем подобные слагаемые:
9х^2 – 42х + 49 – 25х^2 + 90х - 81 ≥ 0
- 16х^2 + 48х – 32 ≥ 0
Числа в нашем неравенстве делятся на одно и то же число. Давайте разделим неравенство на (– 16) для того, чтобы работать было легче. Напомню, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. То есть теперь мы должны заменить ≥ на ≤:
- 16х^2 + 48х – 32 ≥ 0 │: (- 16)
После этого неравенство приобрело следующий вид:
х^2 – 3х + 2 ≤ 0
Замечательно! Теперь работаем именно с этим неравенством.
- Шаг №4
Это неравенство мы будем решать методом интервалов. Для этого нам нужно понять, при каких значениях х наше выражение будет равно нулю. Приступим!
Приравниваем х^2 – 3х + 2 к нулю и получаем квадратное уравнение:
х^2 – 3х + 2 = 0
Для дальнейшего решения вспомним формулу дискриминанта и корней:
D = 9 – 4*1*2 = 9 – 8 = 1 = 1^2
х1 = (3 + 1)/2 = 2
х2 = (3 - 1)/2 = 1
Итог шага №4: нули в нашем неравенстве это 2 и 1
- Шаг №5
Следующий шаг в применении метода интервалов это расположение чисел, найденных нами в предыдущем пункте, на координатной прямой. Приступаем!
Мы получили три интервала:
1) От минус бесконечности до 1
2) От 1 до 2
3) От 2 до плюс бесконечности
Теперь наша задача – узнать, какой из них будет ответом на наш вопрос.
- Шаг №6
На этом этапе нам нужно узнать, какой знак примет наше выражение
х^2 – 3х + 2, если “X” будет принадлежать какому-либо интервалу. Для этого рассмотрим конкретный пример. Число 0 расположено на первом интервале. Подставим 0 в наше выражение вместо “X”:
0^2 – 3*0 + 2 = 0 – 0 + 2 = 2.
Видим, что ответ положительный. Делаем вывод, что при любом “X”, принадлежащем этому интервалу, ответ будет положительным. А на всех других интервалах по очереди меняем знак: если на соседнем интервале мы поставили "+", то на другом ставим "-".
- Шаг №7
Так какой же интервал будет нашим ответом? Для того, чтобы разобраться, обратимся к неравенству. Итак, х^2 – 3х + 2 меньше или равно 0, то есть нужно такое значение “X”, при котором при подстановке значения “X” из данного интервала получится отрицательный ответ или ноль. Такое развитие событий нам может обеспечить второй интервал, так как именно на нём мы поставили знак минус. Он и будет ответом. Знак у нас не строгий: меньше или равно, а не строго меньше, то есть ответ будет звучать так: от 1 до 2 включительно. Поэтому записываем интервал не с круглыми, а квадратными скобками: [1; 2]. Это и есть наш ответ.
- Ответ: [1; 2]
А вот так выглядит решение без лишних пояснений:
Надеюсь, всё было максимально понятно😊
До новых встреч!!
