Поиски адекватных формул распределения простых чисел - одно из важнейших направлений теоретической математики, таящее в себе множество подводных камней. Чего только стоит удивительное число Скьюза, которое научит Вас никогда не верить недоказанным тенденциям и закономерностям, как бы убедительными они не звучали.
Сегодня я хочу рассказать про удивительно простое, но в то же время, фундаментальное утверждение, которое сформулировал француз Жозеф Луи Франсуа Бертран, а доказал один из величайших русских математиков Пафнутий Чебышев.
Итак, постулат Бертрана гласит, что:
Между каждыми х и 2х найдется всегда простое число, вот так новость! Однако, сам Бертран так и не смог его доказать, хотя и использовал в своей работе, назвав его постулатом.
Русский математик Чебышев - один из важнейших игроков на поле простых чисел, доказавший множество занимательных утверждений и давший одни из самых точных оценок распределения простых чисел. Не удивительно, что именно он превратил поставил точку над "i" в постулате Бертрана.
Гениальность русского ученого в том, что он использовал для доказательства теоремы, связанной с простыми числами, десятичные логарифмы!
Гипотеза Бертрана эквивалентна тому факту, что π(2x) > π(x).
Чебышев понял, что нужно уйти от непосредственного подсчета, введя искусственную функцию, еще более "сильно прыгающую" при переходе между простыми числами, чем приведенная выше функция π(x).
Такая функция в математике стала называться θ-функцией ("тета-функцией") Чебышева:
Она равняется сумме логарифмов простых чисел, не превосходящих данное число. Чтобы понять, почему она сильнее прыгает, чем π(x), просто посчитаем:
С увеличением х разница все больше и больше увеличивается. Математическая интуиция в этот момент подсказала Чебышеву, что, возможно, удастся применить один из классических вариантов доказательства теорем, касающихся бесконечных последовательной чисел.
- Суть этого метода заключается, в том, чтобы доказать утверждение для всех чисел больше х, при чем х должно быть такое, чтобы все числа, меньшие его, можно было бы проверить перебором.
В нашем случае Пафнутий Львович с помощью тета-функции обосновал постулат Бертрана для чисел, больших 160, что, как понимаете, уже было достаточно для оформления доказательства.
В дальнейшем, постулат Бертрана множество раз "усиливался" даже в нашем тысячелетии, причем некоторые из выражений кажутся совсем искусственными, например:
Впрочем, на этом проблемы поиска интервалов с простыми числами далеко не закончены. Например ничего не известно об истинности гипотезы Лежандра, которая предполагает, что между n^2 и (n+1)^2 всегда имеется хотя бы одно простое число. Но это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!