Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлом материале я рассказывал Вам про аксиому непрерывности действительных чисел. Перед прочтением сегодняшнего материала рекомендую ознакомиться с этим базовым определением. Поехали!
А теперь перейдем, собственно, к лемме, которую иногда называют принципом вложенных отрезков Коши-Кантора. Для начала надо понять, что такое отрезок:
Ну ладно. каждый и так понимает, что такое отрезок. Вышеприведенное определение дано лишь для математической формализации очевидного факта, что отрезок - это множество чисел, наименьшее из которых называется началом, а наибольшее - концом.
Теперь разберемся, что такое последовательность отрезков:
Если даны отрезок, затем отрезок внутри него и так далее, то речь идет о последовательности отрезков. Для концов отрезков, очевидно, выполняется условие из последней строчки. Ну что ж, пока всё геометрически ясно (так считали и математики до революционных аксиоматических нововведений - "если и так видно, можно и не доказывать").
Ну а теперь переходим к самой лемме:
Иными словами, в лемме говорится о том, что всегда существует точка с, которая принадлежит каждому из отрезков, составляющих последовательность. Геометрически, это так же просто:
Существование такой точки следует из аксиомы непрерывности:
Определяем два множества: первое состоит из левых концов отрезков, второе - из правых. Для каждой комбинации (даже при бесконечно больших m и n) найдется действительное число с между ними.
Вторая часть леммы требует уже немного другого подхода к доказательству. Здесь мы имеем дело с пределом последовательности:
Пояснения: вторая строчка - это определение предела последовательности. Проще всего понять его геометрически. Возьмем отрезок с концами c индексами n и вещественное число ε1: тогда мы можем найти такое N, например, N=n+1 (как на рисунке), что длина отрезка с концами с индексом n+1 будет меньше ε1.
Теперь применим классический принцип доказательства ("от противного") единственности: предположим, что число c таким не является и придём к противоречию:
Что получилось? Длина отрезка [c1,c2] меньше, чем [An, Bn] по определению последовательности вложенных отрезков. В то же время, эта длина меньше выбранного нами ε, что должно выполняться для всех вещественных ε. Если мы приведем хотя бы один контрпример, то докажем вторую часть леммы, т.к. придём к противоречию.
Пусть например, пусть ε = 1/2[c1,c2], тогда очевидно, что весь отрезок не может быть меньше своей половины. Противоречие! Значит с - единственная точка, которая принадлежит всем вложенным отрезкам. ЧИТД!
Надеюсь, Вам понравился этой простой математический этюд, который я постарался максимально понятно донести, чтобы развивать в сердцах и умах искреннюю любовь к прекрасному - к математике.
