Сегодня рассмотрим решение Фридмана уравнений Общей теории относительности для всей Вселенной. Элементарные подготовительные соображения я изложил здесь, простую аналогию для понимания здесь, а сейчас рассмотрим более технические моменты. Однако заметка полностью автономна.
Итак, космологический принцип: предположим, что Вселенная однородна и изотропна на больших масштабах. На масштабах мельче может быть что угодно, примерно как вода вовсе не сплошная среда, но модель сплошной среды хорошо работает на больших (по сравнению с молекулой) масштабах.
Тогда распределение материи описывается двумя числами: плотностью ρ и давлением p; метрика не зависит от пространственных координат, а только от времени; и еще во Вселенной может быть космологическая постоянная: еще один параметр уравнения Эйнштейна (помимо гравитационной постоянной).
Метрика — это коэффициенты, необходимые для вычисления расстояний, если даны (бесконечно-малые) смещения координат. Так вот, квадрат расстояния dL может иметь только такой вид:
dL² = -c²dt² + a(t)dl².
Здесь c — скорость света, a(t) — какая-то функция времени, dt — интервал времени между двумя событиями, dl — расстояние в некотором эталонном пространстве.
Эталонное пространство должно быть постоянной кривизны, чтобы соответствовать предположениям. Таких есть три: плоское пространство (аналог плоскости) с нулевой кривизной, пространство с положительной кривизной (аналог сферы) и с отрицательной кривизной. Выбор пространства возложим на параметр k, равный 0, 1 или -1.
В плоском пространстве в сферических координатах
dl² = dr² + r²dψ² + r²sin²ψdφ².
В пространстве положительной кривизны в похожих на сферические координитах
Для отрицательной кривизны формула аналогична, только под корнем знак плюс.
Давайте выведем формулу для положительной кривизны. Для наглядности возьмем сферу в трехмерном пространстве (она двумерна). Радиус ее R положим равным единице. Выберем координаты как показано на рисунке выше. Для малых векторов справедлива теорема Пифагора, так что dL² можно выразить как сумму квадратов двух смещений. Одно из них выражается через полярный радиус r и угол: rdφ. Другое — через другой угол и радиус сферы: Rdθ = dθ. Но ведь сам r=Rsinθ, так что dr=Rcosθdθ, откуда Rdθ =dr/cosθ. У нас R=1, так что dθ =dr/cosθ.
Применим теорему Пифагора и выразим косинус через стороны трегольника:
Окончательно имеем
Вот и получилась формула, аналогичная приведенной выше. Правда, та для трех измерений, и там есть еще один угол. Но вся движуха касалась первого слагаемого, два других стандартные сферические.
Дл отрицательной кривизны все аналогично с заменой обычных синусов и косинусов на гиперболические. В результате изменится знак под корнем: больше ничего. Можно использовать параметр кривизны k и написать общую формулу для длины в координатах, аналогичных сферическим:
Имея метрику, можно подставить ее в уравнение Эйнштейна:
Тензор энергии-импульса справа диагональный: на диагонали стоят плотность и (три раза) давление, с какими-то коэффициентами, остальные элементы равны нулю из-за однородности. Слева тензор тоже диагональный, отличны от нуля только четыре компоненты на диагонали. Эти две различные компоненты немного громоздко выражаются через метрику и ее производные до второго порядка.
Теперь нюанс: у нас четыре уравнения и одна неизвестная функция a(t). Правда, давление и плотность тоже меняются во времени, так что неизвестных три. Но все-таки есть риск, что уравнения окажутся несовместными. Тогда решений не было бы.
Но они есть! Дело в том, что в локально-декартовых координатах, которые все равноправны, слева три компоненты равны друг другу. Справа же стоит одно и то же давление. Получается одно уравнение три раза. Так что всего два уравнения для трех неизвестных. Для замыкания нужно еще уравнение состояния: связь плотности и давления.
После подстановки получаем два уравнения:
Первое уравнение можно продифференировать и подставить второе, а из второго можно вычесть первое:
При этом параметр кривизны k исчез: он постоянная интегрирования. Из второго уравнения следует, что ускорение расширения меньше нуля. При этом равным нулю оно без космологической постоянной (у нас ее пока нет) быть не может. Вселенная не может быть статичной! Вариантов два: вечное расширение или смена расширения сжатием.
Это как с броском камня вертикально вверх. Если скорости хватит, он улетит в бесконечность, замедляясь. Если не хватит, упадет обратно.
А из первого уравнения следует, что плотность неуклонно снижается.
Величину
называют постоянной Хаббла. Она зависит от времени (!), если только a(t) не окажется экспонентой. Не оказывается, если есть заметное количество вещества.
Перепишем уравнение (1) в виде
Получилась критическая плотность, которая определяет знак кривизны Вселенной как целого.
Это все пока без космологической постоянной, о которой в другой раз уже.
Давайте посмотрим на уравнения состояния: связь плотности и давления. Первое, что прихоодит на ум: это p=0. Это называется состояние холодной пыли. В большом масштабе много звезд, но они между собой не взаимодействуют (кроме как гравитационно). Тогда, как легко видеть, плотность обратно пропорциональна a³.
Есть уравнение излучения, когда давление пропорционально плотности. Все зависит от коэффициента пропорциональности, но если все аккуратно проделать, то получится 3c²p~ρ и ρ обратно пропорциональна a⁴.
Продолжение следует...
Лекции по космологии рекомендую!
