Разрезаем блины на Масленицу: математический подход

Моя мама печет замечательные блинчики — вкусные, красивые, тонкие-кружевные. Она никогда не раздавала нам блины целиком. Обязательно всю стопку делила на равные части, чтобы каждому досталось попробовать от каждого блина.

Резала самым простым способом: сначала проводила один разрез от центра круглого блина к краю, а потом повторяла такой разрез, отступив на подходящий угол, так никому не бывает завидно:

Все такие разрезания имеют ось симметрии, и даже не одну.

При таком делении на равные части центр круга обязательно попадает на границу каждой части. Вот довольно сложный вопрос: всегда ли так должно быть при делении круга на равные части?

Сделаем хитрый ход: проведем непрямой разрез из центра к краю.
Он не просто не прямой, он представляет собой одну шестую часть окружности. Повернём этот разрез вокруг центра, чтобы отрезать одинаковые куски:

Здесь линию разреза повторили 6 раз.

Получилось шесть равносторонних криволинейных треугольников; все три стороны каждого — это три одинаковые кривые линии. Здесь тоже центр круга попадает на границу каждой части. Но приглядимся: у каждой части есть линия симметрии. Если ее провести, то получится разрезание на равные части поменьше:

Чтобы получить такое разрезание, мы сначала применили поворотную симметрию, а потом осевую. Получилось красиво! Здесь у каждого кусочка есть хотя бы одна общая точка с границей. У половины кусочков нет общих точек с центром.

Здесь два раза применяли поворотную симметрию. Тоже получились равные части, и не все они имеют общие точки с центром.

Ну и задачки. Первая относительно простая, про остальные неизвестно, существует ли для них решение.

1. Разрезать круг на равные части так, чтобы больше половины из них не касалось центра на границе .
2. Разрезать круг на равные части (больше чем на 2) так, чтобы центр лежал на линии разреза между ровно двумя кусками.
3. Разрезать круг на равные части так, чтобы центр лежал внутри одного куска.

Приятного аппетита!

Математическая теория: https://arxiv.org/pdf/1512.03794.pdf

Ещё задачи, до сих пор никем не решенные

Гонки простых чисел О неожиданных закономерностях в распределении простых чисел

Нерешаемые задачи О целочисленных кирпичах

Как Гольдбах придумал не умножать простые числа, а складывать, и что из этого вышло

Прогресс в безнадежной задаче. О гипотезе Коллатца

10 простых на вид задач, которые могут поставить в тупик любого человека (На самом деле 9, потому что первая из этого списка решена)