Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу рассказать Вам, что такое эквивалентность. Понятие точно Вам знакомо на бытовом уровне, однако в математике оно имеет особенный и строгий смысл, который позволит Вам по иному взглянуть на вещи. Уверяю, для каждого из Вас это будет простым материалом. Предлагаю Вам прочувствовать красоту математических суждений вместе со мной. Поехали!
Объяснение максимально подробное, поэтому может показаться затянутым. Однако, в конце Вас ждет хороший жизненный пример!
Эквивалентный - "равноценный, равнозначный, равносильный, находящийся в равных отношениях". Именно так переводится это понятие в основных толковых словарях. Однако, в математике этого недостаточно. Мы хоть и любим эфемерную бесконечность, но к понятиям "жизненным" подходим со строгим инструментарием.
Вот и в данном случае, чтобы понять, что такое эквивалентность в математике, необходимо разобраться со словом "отношение", которое в теории множеств имеет конкретный смысл.
Говорят, что на множестве А задано отношение R, если про каждую пару элементов а и b множества А можно сказать:
"a R b" - верно или "a R b" - неверно.
Под символом R, строго говоря, может скрываться всё, что угодно. Самое известное каждому со школы - это строгое отношение порядка, которое обозначается "<" или ">". Как мы его применяем?
Например, на множестве натуральных чисел {1,2,3,4...} уже для каждой пары (1,2), (2,4) известно, истинно или нет утверждение "1<2" или "2<4", т.е. задано отношение порядка
Какие отношения бывают еще ? Например, отношение равенства, отношение параллельности, конгруэнтности, отношение равенства остатков от деления на n и т.д, отношение дружбы, отцовства, брака и т.д.. Несмотря на такой разброс, каждое отношение можно формальным образом охарактеризовать, проанализировав его свойства:
1. Рефлексивность. Если "a R a" верно для всех a, то отношение R - рефлексивное. Первый пример: "а>a" - неверно, значит строгое отношение порядка - не рефлексивное. Второй пример: в геометрии считается, что каждая прямая параллельна самой себе, т.е. "a II a" - верно, а значит параллельность - рефлексивное отношение.
2. Симметричность. Если "a R b" - верно, то и "b R a" - тоже верно. Первый пример: из "a<b", не следует, что "b<a" , значит строгое отношение порядка не симметрично. Второй пример: из того, что "a = b" следует, что "b=a", значит отношение равенства - симметрично.
3. Транзитивность. Если "a R b" и "b R c", то "a R c" - верно. Первый пример: отношение отцовства (не смущайтесь примеру, я же говорил, что может быть что угодно, в этом и прелесть). Из того, что "а ОТЕЦ b" и "b ОТЕЦ с" не следует, что "a ОТЕЦ c". Второй пример: отношение родства: из того, что "а РОДСТВЕННИК b" и "b РОДСТВЕННИК с" следует, что "a РОДСТВЕННИК c", а значит такое отношение транзитивно. Кстати, в общем случае а,b и c могут быть одними и теми же элементами.
На этом классификация не заканчивается, но мы уже подошли к тому моменту, когда можем ввести понятие отношения эквивалентности.
Итак, если бинарное (между двумя элементами множества) отношение R рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности или просто эквивалентностью.
Примерами отношений эквивалентности могут служить "равенство", отношение подобия в геометрии (~), отношение параллельности прямых, сравнение по модулю и т.д. Пример для последнего:
Что же значит эквивалентность в жизни? А, например, то что настоящая дружба - это отношение эквивалентности.
- Очевидно, что Вы дружны сами с собой, т.е. с рефлексией всё в порядке.
- Если у Вас есть друг, то хорошо бы, чтобы и Вы были его другом: симметричность тоже присутствует!
- Если Вы дружите с кем-то и он дружит с Вами (п.2), то из этого следует, что Вы дружите с собой (п.1) - транзитивность тоже в наличии!
Важнейшее свойство каждого отношения эквивалентности в том, что с помощью него можно построить фактормножество - усеченный вариант исходного множества, будто "склеенный" из похожих элементов. В ряде случаев на практике, например, в маркетинге, это оказывается чрезвычайно важным для разбиения аудитории на непересекающиеся классы со схожими интересами. Об этом поговорим в отдельном материале. Подписывайтесь на канал! Спасибо за внимание!
