Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Тема, которая я хочу поднять настолько обширна, что требует не одного десятка статей. Начнем с того, что такое пятый постулат Евклида и какое значение он имел для формирования математической логики и пересмотра взглядов человека на окружающий мир. Поехали!
Труд Евклида "Начала" относится к 300 году до н.э. Так получилось, что этот труд стал единственным, с чем ассоциируется Евклид, потому что других сведений о великом геометре древности практически не сохранилось.
Определения и постулаты
На первой странице "Начал" с помощью простейших формулировок были определены основные понятия, такие как точка, линия, прямая, угол, поверхность и т.д.
- Точка - есть то, что не имеет частей.
- Линия - длина без ширины.
- Концы же линии - точки.
- Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
Однако самое важное и монументальное начинается чуть позже, а именно постулаты (в греческом языке, буквально, требования), которые Евклид начинает со слова "допустим" :
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Ограниченную прямую можно продолжать непрерывно по прямой.
- Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
- Все прямые углы равны между собой.
- И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одно сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньшие двух прямых.
Пятый постулат уже на этапе формулировки значительно отличается от предыдущих тривиальных "требований". Да настолько, что даже в школьной программе его заменяют формулировкой Прокла, согласно которой "через точку, не лежащую на данной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной:
Евклид выбрал свои постулаты по очевидности и наглядности, однако, когда математики обнаружили, что через точку можно провести как бесконечное количество прямых, параллельных данной, так и ни одной, стало понятно главное: вопрос о его истинности и первоприроде просто не имеет смысла! Почему, например, его опровержение не считать истиной? Почему, например, не отвергнуть какой-то из первых постулатов?
В действительно корректность того или иного постулата зависит от объекта, который мы изучаем!
Альберт Эйнштейн по поводу постулатов Евклида высказывался так:
"Бесполезно доказывать, действительно ли можно провести через две точки только одну прямую...Чтобы спор об истинности аксиом имел смысл, нужно установить их соответствие с реальностью...однако ничто не указывает, что в геометрии понятия точки и прямой нужно понимать как в обычной жизни, наоборот, геометрия есть не более набор абстрактных идей и отношений между ними".
Он же показал, что окружающий нас мир глобально не подчиняется пятому постулату Евклида, показав что гравитация является мерой кривизны пространства и даже луч света отклоняется от идеальной евклидовой прямой.
Конечно, когда Евклид работал над "Началами" он и предполагать не мог, что все те вещи, наполненные для него конкретным физическим значением окажутся всего лишь одной из множества абстракций. Что его постулаты будут подвергнуты сомнению, а проблемы его аксиоматики приведут к невероятному скачку в развитии математической логики и теории доказательств. Но это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!