В данной статье рассматривается вывод математической модели для устройства на основе элемента Пельтье. В данной статье не рассматривается температурное поле. Материалы данной статьи могут быть полезны студентам, инженерам, занимающимися настройкой устройств на основе элемента Пельтье. Для понимания данной статьи требуется понимание дифференциальных уравнений, физики тепловых процессов.
Ключевые слова: элемент Пельтье, математическая модель, устройство.
Математическая модель устройства на основе элемента Пельтье рассматривается в работах [1 — 7]. В статье [1] рассматривается вывод математической модели, но не учитывается инерционность распространения тепла по рабочему объёму.
Схема термостолика [5,6,8] на основе элемента Пельтье показана на рис 1.
Схема термического зонда, приведённая в [1], показана на рис 2.
Сторона элемента Пельтье, воздействующая на рабочий объём, объект теплового воздействия названа рабочей, другая сторона элемента Пельтье — радиаторной.
В элементе Пельтье присутствуют физические явления: эффект Пельтье [9], эффект Зеебека [10], выделение Джоулевого тепла [11], теплопроводность между сторонами элемента Пельтье, теплообмен с окружающей средой. В устройствах на основе элемента Пельтье присутствуют также теплопроводность [12], теплообмен с окружающей средой, выделение или поглощение тепла объекта теплового воздействия, инерционность, температурное распределение [13].
В работах [5, 6] сказано, что имеется инерционность при распространении тепла по рабочей поверхности. Эта инерционность описана уравнением
где T_c — параметр, учитывающий инерционность при распространении тепла по рабочему объёму, T — температура рабочей поверхности термостолика или рабочего объёма камеры, t — время, T_рабс — температура рабочей стороны элемента Пельтье, t_зап — время запаздывания.
Исходя из теплового баланса на рабочей стороне элемента Пельтье, получим
где P_рабс — тепловая мощность на рабочей стороне элемента Пельтье, P_эп.рабс — мощность, учитывающая эффект Пельтье, на рабочих спаях элемента Пельтье, P_Дж — мощность, выделяемая на активном сопротивлении элемента Пельтье, P_тп — мощность, возникаемая из-за теплопроводности между сторонами элемента Пельтье, P_то — мощность теплообмена рабочего объёма с окружающей средой.
Исходя из теплового баланса на радиаторной стороне элемента Пельтье, получим
Коэффициент «0,5» перед P Дж означает, что мощность от Джоулевого тепла поровну делится на внутренней и внешней стороне. Однако при невыполнении такого условия должен стоять другой коэффициент.
Мощность от эффекта Пельтье [9], описывается формулой
где α — коэффициент Зеебека, I — протекаемый через элемент Пельтье ток, T — температура.
Для рабочей стороны элемента Пельтье
В зависимости от направления тока рабочая сторона элемента Пельтье может нагреваться или охлаждаться. При отрицательном токе рабочая сторона охлаждается и P_эп.рабс <0, а при положительном токе — нагревается и P_эп.рабс >0. Однако во многих литературных источниках и технических характеристиках для элемента Пельтье принято так, что при положительном токе рабочая сторона охлаждается, а при отрицательном — нагревается.
Для радиаторной стороны элемента Пельтье
где T_радс — температура радиаторной стороны элемента Пельтье.
Мощность Джоулевого тепла [11] описывается формулой
где R_эп — электрическое сопротивление элемента Пельтье.
Мощность, учитывающая теплопроводность [12] между сторонами элемента Пельтье, описывается формулой
где γ — коэффициент теплопроводности.
Мощность теплообмена радиаторного объёма с окружающей средой описывается формулой (9), согласно закону Ньютона-Рихмана [14]
где T_ос — температура окружающей среды, измеряемая в Кельвинах, γто — коэффициент теплопроводности перехода «Рабочий объём — окружающая среда».
Мощность теплообмена радиаторного объёма с окружающей средой описывается формулой (9), согласно закону Ньютона-Рихмана [14]
где γ_то.рад — коэффициент теплопроводности перехода «Радиатор — окружающая среда», T_рад — температура поверхности радиатора.
Мощность с изменением температуры связана соотношением (10)
где P — тепловая мощность, C — теплоёмкость, измеряемая в Джоулях на Кельвин, T — температура.
По аналогии с (1) запишем уравнение, учитывающее инерционность распространения тепла по радиатору,
где T_c .рад — параметр, учитывающий инерционность при распространении тепла радиатору, t_зап.рад — время запаздывания при распространении тепла от радиаторной поверхности к поверхности радиатора.
После подстановки (4) — (10) в (2), (3) получим (12)
С учётом (1), (11), (12) получим (13)
Модель (13) не учитывает распределение тепла по рабочему объёму, радиатору, элементу Пельтье. Также параметры математической модели (13) являются нестационарными, и отсутствует полная информация о параметрах математической модели (13). Для учёта нестационарности параметров математической модели (13) требуется знать, по какому закону зависит R_эп , α, γ и другие параметры от температуры и других факторов.
Для применения математической модели (13) в системах управления требуется измерять T_рабс , T_радс , T_рад . Однако это не всегда возможно.
Для применения математической модели в системах управления при расчёте регулятора, можно воспользоваться математической моделью (14).
где T — температура рабочего объёма камеры (рабочей поверхности термостолика) в Кельвинах, t — время, T c — параметр, учитывающий динамику распространения тепла от элемента Пельтье к поверхности термостолика (датчику температуры), a_1 — параметр, учитывающий эффект Пельтье, t_зап — время запаздывания, I — протекаемый через элемент Пельтье ток, a_2 — параметр, учитывающий сопротивление элемента Пельтье, a_3 — параметр, учитывающий теплоёмкость рабочего объёма, a_4 — параметр, учитывающий теплообмен с окружающей средой, T_ос — температура окружающей среды.
В уравнении (14) значение теплопроводности между рабочей и опорной (радиаторной) стороной и другие факторы влияют на значение параметров a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , T_c . Параметры a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , T_c являются нестационарными в процессе работы устройства на основе элемента Пельтье, то есть значения этих параметров могут меняться в ограниченном диапазоне, однако точный закон изменения параметров может быть неизвестным.
В источниках [5, 6] описывается оценка параметров математической модели (14).
Математическая модель с учётом теплового распределения является сложной. Также сложно оценивать параметры такой модели.
В случае если объект теплового воздействия выделяет или поглощает тепло, математическая модель (13) примет вид (15), математическая модель (14) примет вид (16).
где ρ — параметр, вычисляемый экспериментально, P_отв — мощность, выделяемая или поглощаемая объектом теплового воздействия
где a_5 — параметр, вычисляемый экспериментально, P_отв — мощность, выделяемая или поглощаемая объектом теплового воздействия.
В случае если элемент Пельтье подключён к источнику напряжения, то протекаемый через элемент Пельтье ток с напряжением связан по формуле
где U — напряжение, к которому подключён элемент Пельтье, E_Зб — ЭДС Зеебека [10].
Параметры математической модели (17) будут иметь иные значения и размерность в отличие от модели (14), (16).
Список литературы
1. Гринкевич В.А. Исследование математической модели термостата на основе элемента Пельтье // Сборник научных трудов НГТУ. – 2017. – № 3 (89). – С. 62–77. – DOI: 10.17212/2307-6879-2017-3-62-77.
2. Соловьёв А.Л. Параметрический синтез регуляторов с широтно-импульсной модуляцией по методу разделения движений: диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук: 05:13:01 / А.Л.Соловьёв; науч. рук. А.А. Воевода; Новосибирский государственный технический университет — Новосибирск, 2002. 190 л.: ил, табл.
3. Покорный Е.Г., Щербина А.Г. Расчёт полупроводниковых охлаждающихся устройств. / Е.Г. Покорный, А.Г.Щербина. — Ленинград: Наука, 1969. — 210 с.
4. Гринкевич В.А. Синтез регулятора температуры для элемента Пельтье // Сборник научных трудов НГТУ. – 2019. – № 1 (94). – С. 7–31. – DOI: 10.17212/2307-6879-2019-1-7-31.
5. Гринкевич В.А. Синтез регулятора температуры для термостолика на основе элемента Пельтье // Научный вестник НГТУ. – 2020. – № 1 (78). – С. 55–74. – DOI: 10.17212/1814-1196-2020-1-55-74.
6. Гринкевич В.А. Идентификация устройства на основе элемента Пельтье методом наименьших квадратов. // Доклады академии наук высшей школы Российской Федерации, — 2020, — №. 1–2 (46–47), С. 17–27. — DOI: 10.17212/1727-2769-2020-1-2-17-27.
7. Идентификация термостолика на основе элемента Пельтье. [Электронный ресурс], 12.02.2021. — Режим доступа: [https://vl555.livejournal.com/4204.html]
8. Термостолик для микроскопа на элементах Пельтье / Н.С. Безруков, А.Н. Одиреев, К.Ф. Килимиченко, Ю.М. Перельман // Системный анализ в медицине (САМ 2017): материалы XI международной научной конференции, 19–20 октября 2017 г. – Благовещенск, 2017. – С. 47–52.
9 . Эффект Пельтье — Википедия. [Электронный ресурс], 12.02.2021. — Режим доступа: [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%9F%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%82%D1%8C%D0%B5]
10 . Эффект Зеебека — Википедия. [Электронный ресурс], 12.02.2021. — Режим доступа: [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%84%D1%84%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%97%D0%B5%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D0%BA%D0%B0]
11. Закон Джоуля — Ленца — Википедия. — [Электронный ресурс], 12.02.2021. — Режим доступа: [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D1%83%D0%BB%D1%8F_%E2%80%94_%D0%9B%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B0]
12. Теплопроводность — Википедия. — [Электронный ресурс], 13.02.2021. — Режим доступа: [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C]
13. Уравнение теплопроводности — Википедия. — [Электронный ресурс], 13.02.2021. — Режим доступа: [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8]
14. Закон Ньютона — Рихмана — Википедия. — [Электронный ресурс], 13.02.2021. — Режим доступа: [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%A0%D0%B8%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0]
