В прошлых статьях мы подробно рассмотрели всевозможные варианты решения уравнений и неравенств с модулями. Теперь давайте перейдём к построению графиков.
Для этого мы будем использовать уже знакомые нам свойства модулей, но с учётом новой области применения.
**********
Метод интервалов
Это самый простой метод работы с модулями, который легко переносится и на построение графиков.
Идея раскрытия модулей такая же, как и при решении уравнений и неравенств. Правда, последовательность действий чуть отличается:
- Сначала ищем области знакопостоянства для каждого подмодульного выражения.
2. Берём какую-нибудь одну область и раскрываем на ней модули. Получаем для неё некую функцию.
3. Рисуем график этой функции, но только в той области, которую мы рассматривали.
4. Проделываем те же самые действия для каждой из оставшихся областей знакопостоянства.
Подобный подход идеален для функций вроде
или
Например, для первой функции областями знакопостоянства будут полоски x ≤-2, -2≤x ≤1 и x ≥1. Раскрывая на каждом из этих промежутках модули и рисуя в каждой области свою часть графика, получаем такую картину:
Если под модулем не только переменная x , но ещё и у , алгоритм построения похожий. Просто области знакопостоянства будут чуть поразнообразнее. Границы их – это нули подмодульных выражений.
Например, для выражения |x+1|+|2y -x-1|=6 в ноль подмодульные выражения обращаются на прямых x =-1 и y =(x+1)/2. Они делят область на 4 части.
В итоге эти две прямые разделяют координатную плоскость на четыре части, для каждой из которых мы должны будем построить свой кусок графика.
Отражения относительно осей
Модуль отрицательных чисел сохраняет их абсолютное значение, но меняет знак на противоположный. Это позволяет строить функции, используя отражение относительно осей.
Допустим у нас есть какая то функция y =f(x). Пусть график её выглядит вот так:
Тогда нам легко будет построить график функции y =|f(x)|.
Мы просто оставляем ту часть, которая находится над осью Ох, без изменения, а всё, что ниже, отражаем симметрично наверх. В итоге получается вот такая картина.
Можно взять две функции y =x²+2x-3 и y =|x²+2x-3| и посмотреть как на конкретном примере происходит отражение.
Также можно убедиться в полезности такого подхода в построении графика для функции y =|||x|-2|-1|. Мы ранее выкладывали видео, где пошагово объясняем построение этот графика через сдвиги и отражения (тайм-код — 15:00):
Теперь давайте посмотрим на другой случай отражения. Пусть у нас есть та же функция y =f(x). Посмотрим, как себя будет вести функция y =f(|x|).
Во-первыx, часть графика справа от оси Оу останется без изменений. Для неё f (|x|)=f(x). А для отрицательных значений x мы должны будем найти значение функции от их противоположного значения. То есть всё, что находится справа от оси Оу, мы должны будем отразить и в левую сторону.
Пример того, как это работает на функциях y =x²+2x-3 и y =x²+2|x|-3, можно посмотреть здесь .
Частые случаи
Некоторые графики функций с модулями встречаются довольно часто, поэтому желательно заранее знать как они выглядят. Необязательно заучивать их наизусть, но внимательно проработать их стоит.
Эти графики (точнее множества точек, заданные уравнением):
Также полезно не просто их построить, но и по-разному их исследовать. Например, подставить вместо единицы какой-нибудь параметр a или вместо равенства исследовать соответствующие ему неравенства.