Есть такие аналитические функции: это те, которые разлагаются в степенной ряд и совпадают с его суммой хоть где-нибудь (на отрезке, дуге, в круге на комплексной плоскости...). Их можно продолжить на естественную для них область определения, так что начинаем мы, скажем, с луча (0,∞) (логарифм как пример), и потом распространяемся всюду куда можно. Обычно это вся плоскость кроме изолированных особых точек, но бывает по-всякому.
О разнице между аналитическими, голоморфными, регулярными функциями — совсем скоро!
Если есть особые точки, то функция может оказаться многозначной. Пусть, скажем, особая точка нуль, как у логарифма. Берем замкнутую кривую, охватывающую нуль. Например, окружность. Значения логарифма на ней зависят от параметра: угла, например. Сделали полный оборот, а логарифм не вернулся к исходному значению. Получили второе значение в той же точке.
Далее можно сделать еще оборот и получить третье значение. Оно может совпасть с первым, как у квадратного корня, а может не совпасть, как у логарифма.
В общем, многозначность аналитических функций связана с особыми точками и обходами вокруг них. Если запретить пути, окружающие особые точки, проблем не будет.
Так поступают, вводя разрезы, что немного "костыльно". Например, исключив из области определения логарифма луч отрицательных чисел (вместе с нулем), то логарифм будет однозначным. Это одна "ветвь".
Можно перейти рубикон один раз и получить вторую ветвь. И так далее.
На плоскости другого пути нет. Либо мириться с многозначностью, либо вводить довольно произвольные разрезы, уменьшая область определения.
Но можно сделать хитрое построение. Давайте на примере более простого корня квадратного. У него две ветви, так давайте возьмем две плоскости: на одной задана одна ветвь, на другой другая. Точки "нуль" на обеих плоскостях отождествим. Получится такая двухслойная поверхность.
Чтобы избежать многозначности, сделаем на каждой плоскости разрезы из нуля в -∞. А теперь заметим, что одна ветвь на одном берегу разреза совпадает с другой ветвью на другом берегу. Логично: если бы нам дали перейти разрез, мы бы перешли с одной ветви на другую.
Так отождествим берега разрезов крест накрест. В трехмерном пространстве такое не сделать, но нам и не обязательно укладывать полученную конструкцию в трехмерное пространство. Достаточно формально указать, какой берег какого разреза какому соответствует.
На полученной двумерной поверхности, которая называется римановой поверхностью, функция "квадратный корень" однозначна. Пути, охватывающие нуль, проходят по обеим листам, так что по завершении пути значение возвращается к исходному.
Для логарифма листов надо брать бесконечно много (счетное количество), пронумерованные целыми числами. И клеить разрезы последовательно Правый берег на листе n с левым на листе n+1, а левый на листе n с правым на листе n-1. Замкнутых контуров вокруг нуля теперь вообще не будет.
Можно себе представить логарифм в виде небоскреба. Этаж — плоскость. На этаже кабинеты с номерами. Можно пройти по винтовой лестнице и оказаться в той же точке (географически), но этажом выше, или ниже. Кабинеты имеют те же номера (координаты), но они разные! В терминах плоскости, у нас многозначные кабинеты. В терминах римановой поверхности, у нас многоэтажный небоскреб.
Квадратный корень — это двухэтажный домик, с двумя винтовыми лесенками, сплетенными как косичка. Прошел по одной — поднялся, пошел дальше — спустился.
Если у функции две особые точки, то поверхности становятся сложнее и хитрее. Но в целом играет роль топологический тип: число и тип вот этих склеек-переходов.
Можно ставить разные задачи на римановых поверхностях, аналогичных задачам на плоскости. Они применяются в теоретической физике (что и понятно, раз там активно используют аналитические функции). Но главный смысл — философский. Функция идет в комплекте с областью определения, и это не плоскость без некоторых точек, а риманова поверхность. Разные функции могут иметь разные области определения и их уже поэтому складывать нельзя. То есть, Ln(z) — это одна функция, Sqrt(z) — другая, а Ln(z)+Sqrt(z) — третья, связанная с теми двумя лишь косвенно. На плоскости-то у них область определения одна и та же: вся плоскости кроме нуля. А вот римановы поверхности у них разные.