Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу Вам рассказать об удивительном открытии, которое сделал в 19 веке создатель теории множеств Георг Кантор.
С помощью придуманного им метода, Кантор просто перевернул взгляды математиков на числа и бесконечность. Ему удалось доказать, казалось бы, парадоксальный факт - рациональных чисел столько же, сколько и натуральных. Поехали!
Почему парадоксальный? Посудите сами: если натуральные числа 1,2,3 и т.д. расположено на четких интервалах в единицу (такая уж аксиоматика), то с рациональными числами все по-другому.
Уже на отрезке от 0 до 1 можно вместить бесконечное множество рациональных чисел, разбивая и разбивая отрезок на всё меньшие: 1/2, 1/4, 1/8 и т.д.
Теперь стоит сделать ремарку о сравнении бесконечных множеств, ведь ни у кого же не возникает сомнений что и рациональных и натуральных чисел именно столько?
Процесс сравнения бесконечных множеств заключается в взаимно-однозначном сопоставлении элементов друг другу, иначе говоря биективным отображением элементов одного множества в другое. В таком случае говорят, что множества равны или равномощны.
Посмотрим же, что сделал Кантор, чтобы сопоставить рациональные и натуральные числа. Математик придумал оригинальное представление всех рациональных чисел вот такой таблицей:
В такой таблице, как не трудно убедиться, есть все рациональные числа, какие только можно представить. Осталось их посчитать.
Проблема в том. что вправо или вниз идти нельзя, ведь там - бесконечность, поэтому Кантор решил "ходить" диагоналями, как бы захватывая все числа в цепочку и не оставляя позади ни одно из них.
Следующим шагом Кантор разворачивает всю цепочку в ряд и убирает те рациональные числа, которые в ней повторяются:
Убедившись с помощью своего диагонального аргумента, что им перечисляются ВСЕ рациональные числа, Кантор проводит сопоставление их с натуральными числами, тем самым доказывая, что их множества равномощны, а значит рациональных чисел счётное количество.
Такую мощность Кантор назовет "алеф-0", и это будет самой "маленькой" из известных бесконечностей, первый бесконечный кардинал. Такой кардинал имеют все подмножества рациональных, целых и натуральных чисел и даже конечные и бесконечные суммы этих множеств.
Именно поэтому в доказательстве мы не рассматривали отрицательные рациональные числа и ноль, ведь сумма счетных множеств - само счётное множество.
А как же действительные числа? Сколько их? Об этом я продолжу повествование уже совсем скоро. Спасибо за внимание!
