Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Какие самые известные числа из мира математики приходят Вам на ум спустя длительное время после окончания обучения? Наверное, каждый из Вас вспомнит число Пи, у кого-то всплывет в памяти число Эйлера, некоторым придет в голову золотое сечение.
Однако, постоянную, о которой я хочу сегодня рассказать, навряд ли узнает не математик, несмотря на то, что по количеству употреблений она не сильно отстает от вышеперечисленных. Речь пойдет о постоянной Эйлера-Маскерони, очень простой в нахождении, но до сих пор таящей в себе загадки. Поехали!
Давайте повторим путь, который прошел Леонард Эйлер для нахождения этой постоянной.
Рассмотрим гармонический ряд, который уже неоднократно встречался на моем канале, например, в задаче о бессмертном муравье. Известно, что этот ряд расходящийся, т.е. его сумма хоть очень медленно, но неограниченно растет.
Неограниченный рост - это хорошо, но его невозможно пощупать. А что, если попытаться ограничить хотя бы его частичные значения некой функцией, например, логарифмом.
Чем больше будет порядок n частичной суммы, тем разность её с логарифмом n будет ближе и ближе к некой константе. Сам Эйлер вычислил её первые 16 знаков, а Лоренцо Маскерони - 32, хотя и допустил несколько ошибок в вычислении. На данный момент количество верно вычисленных знаков равно чуть больше 600 миллионов.
Чтобы Вы понимали, какой нетривиальной была эта задача для 18 века, я вычислил значение суммы гармонического ряда до 100. Её значение - 5,18737751136796. Если вычесть из этого числа Ln(100), то получим 0,582 - т.е. только первый знак правильно определен. Впрочем, уже при n=1000, верно определяются первые четыре знака.
В каких задах появляется постоянная Эйлера-Маскерони ?
- Удивительно, но постоянная Эйлера-Максерони тесно связана с простыми числами. Например, она описывает разрывы между простыми числами.
- Постоянная равна первой производной гамма-функции, взятой со знаком минус. Сама же Гамма-функция используется в таких областях как атомная физика, гидродинамика, экономика и сейсмология. Эта функция, также придуманная Эйлером, позволяет расширить применение факториала на вещественные и комплексные числа.
- в диаграммах Фейнмана, описывающих поведение субатомных частиц.
Последнее - самое удивительное. Получается, что постоянная Эйлера-Маскерони может быть мостиком внутри нашего мироздания: связывать простые числа и частицы, из которых состоит материя!
Загадка постоянной Эйлера-Маскерони в том, что мы ничего о ней не знаем, кроме факта существования. Например, неизвестно, является ли она рациональным числом и показано, что таковым она будет являться, если знаменатель больше, чем 10^244663, что и современным компьютерам не под силу.
Повсеместность появления постоянной Эйлера-Маскерони делает её числовую природу одним из главных открытых вопросов в математике.. В последнее 10 лет большинство ученых склоняются к её трансцендентности.