Мы уже обсуждали происхождение формулы сложения скоростей. Всё дело в преобразованиях Лоренца. Они образуют группу, то есть у каждого преобразования есть обратное, которое его отменяет, и два преобразования подряд равносильны одному (однако порядок преобразований может быть важен). Преобразования характеризуются параметром, который можно назвать скоростью; обратное имеет скорость с другим знаком, а композиция — релятивистскую сумму. Всё это легко выводится, если понимать, что преобразования Лоренца суть гиперболические повороты в пространстве-времени.
Однако тут есть один любопытный нюанс. В большинстве учебников формула дана в частном виде: когда ось х направлена в том же направлении, что и скорости, которые направлены одинаково (с точностью до знака, противонаправлены они могут быть). А общая формула несколько сложнее. Вот она:
Теперь можно уточнить, что декларирует постулат о постоянстве скорости света. Он постулирует постоянство скалярной скорости, то есть величины скорости, в любой инерциальной системе отсчета. Вектор скорости, задающий величину и направление, имеет одну и ту же величину в любой системе отсчета, но направление может меняться.
Давайте рассмотрим "парадокс", который я увидел на одном убогом дзен-канале одного убогого опровергателя. Почему так грубо выражаюсь — объясню чуть ниже.
Итак, фотонные часы, в которых между зеркалами скачет фотон; или фонарик, подвешенный к потолку и испускающий луч света. Если часы движутся (перпендикулярно к направлению движения фотона) или движется фонарик, то для неподвижного наблюдателя фотон летает по косой линии и ударяется о зеркало реже, а луч из фонарика будет косой: под острым углом к полу.
Парадокс в том, что если пола нет, то луч фонарика будет попадать не туда, куда попадал бы при неподвижном фонарике; а раз точка попадания зависит от скорости фонарика, то как же быть с постулатом об инвариантности скорости света? Скорость света, выходит, зависит от скорости источника.
По направлению зависит. По величине — нет. Что и описывает в точности формула. Давайте ее применим.
Скорость фотона или луча в системе отсчета неподвижного наблюдателя w получается суммой скорости фонарика v=(v,0) в неподвижной системе отсчета и скорости света u=(0,c) в подвижной системе, оси которой направлены так же. Порядок слагаемых именно такой.
В знаменателе имеем единицу, так как скалярное произведение перпендикулярных векторов u и v равно нулю.
В числителе три слагаемых, однако второе равно нулю, так как векторы скоростей перпендикулярны. Первое — это скорость (v,0), а третье:
В итоге получаем скорость (v, a(v)c). Нетрудно проверить, что квадрат длины этого вектора (сумма квадратов компонент) равен c², то есть по величине скорость луча равна скорости света. А вот направление изменилось, свет движется туда же, куда и фонарь, и с той же скоростью v. А перпендикулярная компонента чуть меньше, и потому и часы тикают медленнее.
В итоге, фотонные часы все равно тикают замедленно, и именно так, как и должны.
Можно считать, что все мы двигаемся в пространстве-времени со скоростью с. Если мы в покое, то направлена она вдоль оси времени. Если движемся, то часть скорости направлена перпендикулярно оси времени, а скорость вдоль оси времени станет меньше: вот вам и замедление времени.
А что будет, если мы сложим скорости в другом порядке? Мы получим скорость относительно неподвижного наблюдателя пули, выпущенной со скоростью (v,0) относительно ракеты, которая летит со скоростью света (0,c). Множитель Лоренца окажется равен нулю, так что два последних слагаемых числителя равны (векторному) нулю, а знаменатель равен 1, и получим скорость (0,c). То есть, никуда эта пуля не улетит, так и будет следовать рядом с ракетой. Правильно: для нас же время на ракете остановлено.
Теперь о грубости: почему я так нелицеприятно отзываюсь об отрицателе, который этот парадокс придумал (или у кого-то списал). Потому что умный человек, наткнувшись на непонятное, пытается разобраться. Я тоже до какого-то момента не знал о векторной формуле сложения скоростей: полагал, что скалярная формула становится векторной, если понимать uv как скалярное произведение. Но когда, размышляя о фотонных часах, заметил проблему — стал думать и искать. И разобрался.
А человек, который заметил в коде ядра Линукс x=x+1 и, познав алгебру за пятый класс, объявил об обнаруженной ошибке в программном коде... смешной. Если это пятиклассник, то можно попытаться воспитать, а если это взрослый пятиклассник... то можно только презирать.
И последнее. Если хотите потроллить неопытного релятивиста для его же пользы, сделайте такой наброс. Пусть с ракеты, которая летит на север со скоростью немного больше 0.6с, выпустили пулю перпендикулярно курсу (на запад) со скоростью немного больше 0.8c. Если применить скалярную формулу релятивистской суммы скоростей (в знаменателе скалярное произведение и оно равно нулю), получится по величине немного больше с. Повторяя процесс несколько раз (ну, если на пуле свой пулемет, стреляющий перпендикулярно курсу), можно "немного" превратить в "до черта", причем особо нервирует вид вектора: (Qc,0) для произвольного Q, чего вполне можно добиться.
Если человек умен, он поищет и найдет, хотя бы итальянскую википедию, в которой изложено лучше всего, или английскую, в которой тоже можно разобраться. Или задаст вопрос тому, кто понимает. И станет знать больше. А глупых релятивистов не бывает. Как и не-глупых антирелятивистов.
Путеводитель по каналу и по рубрике "Гравитация, Вселенная и всё остальное".