На этапе предварительного знакомства с модулями вам нужно чётко понимать, что такое модуль, его основные определения и свойства. Причём не только формальные правила, но и их практическое эффективное применение в простых задачах. Главное свойство модуля для использования на этом этапе — его неотрицательность.
*********
В зависимости от того, по каким учебникам вы учитесь, модуль можно определять по-разному. Все эти определения равносильны, но обычно всё-таки какое-то из них остаётся рабочим, а остальные вспомогательными.
Если коротко, то модуль — это абсолютная величина. То есть, грубо говоря, “число без знака”.
Несмотря на то, что такое объяснение для модуля очень неформальное и шероховатое, оно довольно удобное для элементарных случаев. Можно не задумываясь просто отбрасывать знак у выражения под модулем и получать верный ответ. Дальше, по мере того, как вы привыкнете к этому понятию, можно рассматривать и более точные определения. Но в начале в качестве рабочего определения “число без знака” допустимо.
Итак:
|5|=5 (знака нет, поэтому и убирать нечего)
|-7|=7 (знак убрали)
|0|=0 (с нулем всегда всё просто)
К сожалению, многие школьники так и остаются на этом магическом уровне без понимания сути работы с модулями. То есть просто работают с формальной записью и “убирают знак” внутри любого подмодульного выражения.
Но как только возникают задачи следующего уровня вроде:
такие ученики впадают в ступор или не задумываясь меняют минус на плюс.
Чтобы таких ситуаций не происходило, нужно знать более строгое определение модуля.
Например, возьмём самое наглядную иллюстрацию для модуля: модуль числа — это расстояние от начала координат до данного числа.
Отсюда сразу становится очевидным главное свойство модуля числа — он всегда неотрицателен, потому что расстояние всегда неотрицательно. И также можно сразу посчитать значение модуля для элементарных случаев.
Однако, такое объяснение хоть и наглядно и строго, но всё равно плохо применимо для решения задач.
В реальности используют вот такую алгебраическую запись:
С непривычки она может показаться немного страшной для учеников. Как это так, модуль превратился в целую систему? Раньше ведь работали только с системами уравнений. И что дальше делать с такой записью, как её использовать? Но стоит в эту запись внимательно вчитаться, становится понятно, насколько удобно такое представление модуля.
Первая строка в ней означает следующее: если число под модулем неотрицательное, то мы ничего с ним не делаем. В реальных задачах это означает, что мы раскрываем модуль со знаком “плюс”. Грубо говоря, просто убираем модули, а выражение внутри оставляем без изменения. Этот случай с положительным выражением под модулем или нулём довольно простой, поэтому здесь обычно вопросов не возникает.
Для понимания второй строки вспомним, как действует модуль на отрицательные числа (числа “со знаком минус”).
С одной стороны, мы просто убираем знак минус. Но это неудобно для работы. Поэтому лучше использовать другую формулировку: после раскрытия модуля мы вместо отрицательного числа получаем ему противоположное. Было -5 под модулем, стало противоположное ему число 5. То есть было -5, стало противоположное ему -(-5). А в общем случае для некоторого числа а его противоположность записывается как -а. То есть для отрицательных чисел получаем |а|=-а, как мы и указали в системе.
То есть, чтобы вычислить указанный выше пример, мы должны первым делом выяснить знак подмодульного выражения. Не будем подробно останавливаться на том, как это лучше сделать. Просто примем сразу как факт, что подмодульное выражения здесь отрицательное. Поэтому мы должны после снятия модуля получить число противоположное подмодульному выражения. Иначе говоря, поставить перед всем выражением знак минус и потом раскрыть скобки.
Для решения несложных уравнений и неравенств мы также должны будем рассматривать несколько случаев в зависимости от знака подмодульного выражения. На этом строится метод интервалов для модулей.
Однако, довольно часто эффективнее использовать для решения различные схемы.