Поступил запрос объяснить понятными словами, откуда берется этот фактор Лоренца: корень из единицы минус квадрат отношения скорости к скорости света. Это действительно любопытно.
Итак, рассмотрим опять фотонные часы: два зеркала на фиксированном расстоянии, между которыми прыгает фотон. Каждый отскок считается за один такт, и так можно замерять время.
Скорость света с постоянна, так что расстояние между зеркалами можно записать как ct, где t — это время одного такта в системе отсчета самих часов.
Пусть фотон прыгает вертикально, а зеркала горизонтальны. Если эта конструкция движется горизонтально со скоростью v, то фотон летает (для внешнего наблюдателя, который покоится) по ломаной линии: вверх и вперед, потом вниз и вперед, потом опять вверх и вперед...
При этом он проходит больший путь и тратит на это большее время t' (скорость-то в любой системе отсчета одна и та же, с). Давайте найдем t'. Путь фотона есть гипотенуза прямоугольного треугольника (на рисунке это линия с красной точкой-фотоном, концы помечены розовыми). Один катет — это расстояние между зеркалами, оно ct (на рисунке зеленый отрезок). Второй катет — это смещение вперед, которое равно vt' (время по часам внешнего наблюдателя, относительно которого движение и имеет место). Применяем теорему Пифагора и получаем
Это пройденный фотоном путь в системе отсчета внешнего наблюдателя. Он покроет его со скоростью c за время, равное отношению пути к скорости. Но это время мы уже обозначили t'! Получаем уравнение
После несложных преобразований приходим к
и, далее, к
Окончательно получаем
Это и есть формула сокращения времени. Это еще не преобразование Лоренца, но оно выводится из этой формулы и формулы сокращения расстояний.
Специфика фотонных часов роли не играет: все часы будут тикать медленнее. В противном случае по разнице показаний можно было бы устроить парадоксы. О них совсем скоро расскажу.
Теперь ясно, что одновременность относительна: что неподвижный наблюдатель видит как одновременные события, подвижный может видеть как два разнесенных во времени события. И наоборот. Часы же тикают по-разному!
Теперь про сокращений длин и расстояний: ну а как замерить длину движущегося стержня? Либо посмотреть на показания рулетки у концов одновременно (что даст разные ответы из-за разного понятия об одновременности), либо умножить скорость стержня на время, за которое он пролетает мимо. Время по часам на стержне, конечно. Ну а оно замедлено. Стало быть, длина получится сокращенная, и с тем же множителем.
Поэтому скорость, которая равна отношению пройденного расстояния (можно в своих длинах) к интервалу времени, одна и та же в любых системах отсчета.
Сами преобразования Лоренца получаются легко, если выразить координату X' и T' через X и T. Здесь T — это координата, то есть расстояние до начала отсчета, а не смещение t, как выше; ну, смещение от нуля; остальные символы — аналогично.
Изначально начала у обеих систем совпадали, оси тоже; но нештрихованная система едет со скоростью v в направлении оси x.
Обозначим множитель Лоренца через γ. Это "единица делить на корень".
Тогда X=vT+X'/γ, ведь координата X — это координата X', с учетом сокращения (x'=γx) и сдвига. Отсюда сразу получается X'=γ(X-vT). Это преобразование Лоренца для пространственной координаты.
Аналогично имеем X=γ(X'+vT'); подставим полученную формулу для X'; после нехитрых манипуляций получим преобразование Лоренца для времени: T'=γ(T-vX/c²).
Однако еще проще получить их как гиперболические повороты в пространстве Минковского. Но об этом мы уже говорили...
Далее можно рассмотреть импульс системы тел, и он должен сохраняться, причем в любых системах отсчета. Как это делается, я отдельно расскажу, но там возникает этот же множитель, потому что преобразования-то применяем те же самые. Далее энергия, которая выводится из импульса...
А комбинация двух преобразований (от t,x к t',x' со скоростью v и потом от них к t'',x'' со скоростью u) равносильна одному преобразованию, но скорость равна релятивистской сумме, той самой. Об этом тоже совсем скоро!
Путеводитель по каналу и по рубрике "Гравитация, Вселенная и всё остальное"