Бывают случаи нам, когда необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), тогда, если система не слишком большая, нам на помощь может прийти довольно популярный метод Крамера.
Немного о методе
Начнём с того, что метод Крамера является одним из самых популярных прямых методов решения СЛАУ. Обязательным условием использования метода является тот факт, что количество уравнений в системе должно совпадать с количеством неизвестных, а также определитель матрицы коэффициентов системы не должен равняться нулю. В таком случае решение системы будет присутствовать, а также оно будет единственным.
Важно понимать, что этот метод не подходит для решения больших задач, поскольку у метода с ростом количества уравнений снижается эффективность. В этом алгоритме необходимо найти n + 1 определителей, каждый из которых имеет порядок n. Если говорить о вычислительной сложности алгоритма (операции сложения, умножения), то метод имеет сложность порядка O(n⁴), или, грубо говоря, просто n⁴.
Суть метода
Пусть имеется система, состоящая из n уравнений с n неизвестными:
Предполагаем, что для данной системы определитель матрицы коэффициентов не равен нулю:
Для нахождения неизвестных "x" существует обобщённая формула:
В этой формуле i-ый столбец матрицы коэффициентов системы заменяется столбцом свободных членов.
Любой метод легче понимать, разбирая какой-нибудь пример, поэтому рассмотрим несколько примеров: один чисто "буквенный", другой со значениями.
Пример 1
Пусть имеется система, состоящая из 3-х уравнений, в каждом из которых по 3 неизвестных:
Найдём четыре определителя, один из которых — определитель матрицы коэффициентов системы:
Получается, чтобы найти определитель с единицей необходимо первый столбец матрицы коэффициентов системы заменить на столбец свободных членов, чтобы найти определитель с двойкой — второй столбец на столбец свободных членов и так же с третьим определителем. Составление определителей для матриц большего порядка происходит аналогично. Посчитать значения определителей для данного примера не получится, поэтому оставим определители как есть — в виде дельт.
Нахождение корней происходит следующим образом:
Пример 2
Теперь рассмотрим пример, в котором уже будут присутствовать значения. Пусть имеется система, состоящая из 3-х уравнений, в каждом из которых по 3 неизвестных:
Теперь необходимо найти определители. Вообще определитель можно найти разными способами, например, методом треугольников (Правило Саррюса) или путём разложения строки или столбца. Вычислим определители по первой строке каждого определителя:
Осталось только найти корни СЛАУ:
----------------------------------------------------------------------------------------
В принципе это всё, о чём я хотел сегодня поговорить, напомню, опять же, что метод Крамера не подходит для вычисления больших СЛАУ из-за больших затрат времени, но для небольших практических задач метод использовать можно. Я рекомендую пользоваться другими методами, например, методом Гаусса (если, конечно, СЛАУ небольшая и её можно решить без использования программ). Он и несложный, и немного эффективнее метода Крамера.
Надеюсь данная статья поможет понять как решаются СЛАУ при помощи метода Крамера, а также найти плюсы и минусы данного метода.