В умных телепередачах и видеороликах часто попадаются люди, которые произносят страшные слова «интерполяция» и «экстраполяция».
Например: «Экстраполяция текущей ситуации на обозримый период позволяет считать, что прогнозируемые тенденции развития остаются разнонаправленными».
Что сказал – непонятно, зато сразу видно – эксперт.
Вспоминается мультфильм «Как грибы с Горохом воевали», когда царь Горох потоком «умных» слов (в старину это называлось, кстати, «элоквенция», то есть «красноречие») сразил наповал учёного Валуя:
Мы не хотим сказать, что всё на свете просто. В мире полно сложных вещей. Но слова «интерполяция» и «экстраполяция» сложными только кажутся. Что мы сейчас вам, дорогие друзья, и продемонстрируем!
Давайте внимательно прочитаем две задачки:
Задача 1
Вася каждое утро делает зарядку. В январе он смог отжаться от пола 5 раз. В феврале он смог отжаться от пола 7 раз, а в марте – уже 9 раз. Сколько раз Вася сумеет отжаться от пола в апреле?
Задача 2
В январе ларёк бизнесмена Зюзюкина принёс прибыль 50 тысяч рублей. В феврале – 70 тысяч рублей. В марте – 90 тысяч рублей. Сколько рублей прибыли принесёт ларёк бизнесмена Зюзюкина в апреле?
Чем эти задачи похожи?
Тем, что в них спрашивается про неизвестное будущее. У нас есть какие-то числовые данные по прошлому и настоящему (количество отжиманий, рост, прибыль – да что угодно). А надо попытаться предсказать, какими же эти результаты будут в будущем. И вот тут перед нами появляются «два пути».
С одной стороны, мы можем включить свой скепсис – то есть, тьфу!.. Недоверие – и сказать, что предсказывать такие вещи – занятие довольно-таки глупое. Скажем, Вася в апреле может взять и бросить физкультуру. А ларёк бизнесмена Зюзюкина закроет налоговая.
С другой стороны, включается наша природная математика, то есть логические рассуждения: «Если в феврале было на два отжимания больше, чем в январе, а марте – на два больше, чем в февреле, то логично будет предположить, что в апреле отжиманий снова будет на два больше, то есть – одиннадцать».
В быту мы, сами того не замечая, постоянно пользуемся такой логикой. Именно она и называется в математике «экстраполяция». (Если совсем точно, то – «линейная экстраполяция».)
На латыни слово «экстер» означает «вне», а «полюс» – «столб», или «точка». В таких задачах у нас как бы есть «опорные точки» – уже известные факты, а вопрос нам задают про точку, находящуюся снаружи известной области.
А почему линейная? Представьте, что мы решили нарисовать график: в январе – 5 отжиманий, ставим точку. В феврале – 7 отжиманий, ставим точку. В марте – 9 отжиманий, снова ставим точку. А теперь прикладываем к нашим точкам линейку и чертим линию! И этот график довольно точно «предскажет» нам успехи Васи в апреле (и даже в мае).
Само собой (вы уже догадались об этом, и это правильно!) такой способ – экстраполяция – совершенно не годится для долгосрочных прогнозов. Простейший пример: В возрасте 6 лет рост Васи был 110 сантиметров. В возрасте 12 лет – 140 сантиметров. В возрасте 18 лет – 180 сантиметров. Каким будет рост Васи в возрасте 24 года?
Если мы используем ту самую линейную экстраполяцию, то получается, что в возрасте 24 лет Вася (точнее, уже взрослый Василий Васильевич) будет ростом 220 сантиметров, а в возрасте 30 лет – и вовсе 260 сантиметров! Кхм...
Но вот для прогнозов «на ближайшее будущее» экстраполяция предсказывает результаты весьма точно. В математике придумано множество способов экстраполяции помимо линейной: квадратичная, кубическая, экспоненциальная... И все они успешно работают – каждая для решения своей задачи.
Теперь второе страшное слово – «интерполяция». Подсказка: латинское слово «интер» означает «между», «посрединке»... Догадались?
Возьмём всё те же самые наши две задачи и слегка их переделаем.
Задача 1.1
В январе Вася смог отжаться от пола 5 раз. В марте он смог отжаться от пола 9 раз. Сколько раз Вася смог отжаться от пола в феврале?
Задача 2.1
В январе ларёк бизнесмена Зюзюкина принёс прибыль 50 тысяч рублей. В марте – 90 тысяч рублей. Сколько рублей прибыли принёс ларёк бизнесмена Зюзюкина в феврале?
Ну конечно – интерполяция на основании настоящего и какого-то отдалённого прошлого позволяет определить – что было в недалёком прошлом.
Как и экстраполяция, в определённых случаях интерполяция может ошибаться (скажем, в феврале Вася болел и почти не делал зарядку). Но в среднем интерполяция – и наш здравый смысл, наша логика! – подсказывают: раз в январе 5, а в марте 9, то в феврале... ну... где-то посередине, да?
Как и экстраполяция, интерполяция в математике бывает самой разной – линейной, квадратичной, кубической, полиномиальной, сплайновой – в общем, на пол-учебника хватит.
Причём интерполяция и экстраполяция относятся к неточным, то есть приближённым методам вычислений, поэтому и изучает их область математики, которая называется «теория приближений». Помните, мы о ней рассказывали?
Январский номер "Лучика" можно купить на Wildberries: