Начнём с анекдота. Попал на небо великий физик Альберт Эйнштейн, встречается там с Богом и спрашивает:
– Скажите пожалуйста, а есть ли формула, которая описывает весь мир и всё, что в нём есть?
Бог отвечает:
– Да, конечно, я по ней и работал!
– Ой, а напишите, пожалуйста, я всю жизнь мечтал такую формулу отыскать!
Тут откуда ни возьмись появляется школьная доска, маркер, и Бог начинает выписывать длинную-предлинную формулу... Эйнштейн долго пристально следит, а потом говорит:
– Ой, извините, но ведь у Вас вот в этом знаке ошибка!
Бог краснеет и смущённо отвечает:
– Да знаю я...
Смысл этого анекдота объяснять долго, желающих отсылаем к статье Нильса Бора "Дискуссии с Эйнштейном о проблемах теории познания в атомной физике", ограничимся тем, что констатируем простой факт: в окружающем нас мире полным-полно неточностей, а значит – «ошибок».
Скажем, прогноз погоды. «Температура днём +15 градусов» – уверяет нас радио. А если выйти на улицу с термометром, он может показать и +14 градусов, и +16, и даже +11. «Длина доски – 1 метр» – гласит вывеска на рынке строительных материалов. А если померить линейкой? Тут же выяснится, что у одной доски длина 0.98 метра, у другой – 1.02 метра.
Абсолютно все длины, массы, объёмы, расстояния, цены, показатели экономики, которыми нас пичкают политики – всё это числа округлённые, то есть приблизительные!
Кстати, знаете, почему говорят «округлить»? Раньше для денежных расчётов использовали золотые и серебряные монеты. А золото и серебро – металлы, как известно, мягкие. Вот и возникла у жаждущих лёгкой наживы людей идея – а что, если от такой монеты отрезать маленький кусочек, краешек? Скажем, есть у меня пять римских серебряных денариев – от каждого откусить ножницами кусочек серебра, никто же и не заметит? А срезанное серебро можно переплавить ещё в один денарий, или даже два, или просто продать на базаре, ведь так? Но если просто срезать ножницами бочок у монетки, это же будет сразу заметно... Значит, нужно обрезывать по кругу, «округлять»! У преступников были даже специальные «монетные» ножницы с круглыми лезвиями (похожи на маникюрные ножницы у девочек) – чтобы при обрезывании края монеты это было не так заметно... Таким образом, кошелёк, в котором было, скажем, 90 серебряных монет, можно было «округлить» до 100 монет.
Однако мы отвлеклись. На самом деле использовать «примерные», «приблизительные», «округлённые» значения намного проще и выгоднее, чем точные. И человечество – столько времени, сколько оно существует! – пользуется прежде всего значениями приблизительными, то есть «ошибочными».
В наш век калькуляторов и компьютеров мы привыкли к «точным» значениям. Компьютер решает точно! – убеждены мы. Да, это так. Но... скажем, вам нужно посчитать на калькуляторе квадратный корень из 151. Нажимаем на кнопочки и видим на экране:
12.288205727444507591812163554642
Вы будете такое число использовать в расчётах? Само собой, нет. Вы это число тут же округлите до 12.29 или даже просто до 12.3. И этим занимались ученики в школах ещё 4 тысячи лет назад! В древнем задачнике из Вавилона читаем условие:
Под финиковые пальмы в царском саду отведены одинаковые круглые участки. Ширина каждого участка 12 локтей. Скажи площадь одного такого участка.
В современной школе, в учебнике геометрии (или просто математики) для вычисления площади круга нам даётся формула – «эс равно пи-эр-квадрат». Но в древнем Вавилоне «числа пи» не знали. И в задаче стоит не радиус, а «ширина», то есть, выражаясь современным языком, диаметр. Сможете ли вы решить эту задачу без формулы?
Вот как это делали школьники древнего Вавилона 4 тысячи лет назад.
Начерти большой квадрат со стороной, равной ширине участка, то есть 12 локтей. Тогда площадь этого квадрата равна 12 умножить на 12, то есть 144 [квадратных] локтей. Умный ученик поймёт, что площадь большого квадрата больше, чем площадь круга.
Начерти малый квадрат, у которого расстояние от угла до угла равно ширине участка, то есть 12 локтей. Площадь малого квадрата равна половине площади большого квадрата и равна 72 локтям. Догадайся, что площадь малого квадрата меньше, чем площадь круга.
Соедини вместе площадь большого квадрата, площадь малого квадрата, и разделим на два. Ты получишь 144 и 72 разделить на 2, то есть 108. Вот площадь круглого участка: 108 [квадратных] локтей.
Смотрите, как хитроумно! Древнему школьнику формула не нужна. Он замечает, что круг меньше «большого» квадрата, но больше «малого» квадрата. Площади квадратов считаются легко – и ученик берёт просто, выражаясь современным языком, «среднее арифметическое». Если с помощью несложных преобразований перевести древневавилонское решение на современный математический язык (и использовать радиус вместо диаметра), мы получим формулу:
S = 3r2
Таким образом, в древнем Вавилоне число «пи» равнялось ровно трём! И за такие решения ученики получали пятёрки! «Но это же неправильно, ошибка!» – скажете вы. «Число пи равно 3.1415926 и ещё много цифр, нам учительница рассказывала!». Ну что ж, если мы посчитаем «по современному», то ответом задачи будет не 108, а 113 квадратных локтей. Вавилонское решение не является точным, однако скажите – но... а существенна ли в данном случае ошибка? Вавилонцам такой точности вполне хватало, зато решение было простым и понятным. Без всяких там «пи» и кучи знаков после запятой.
Что интересно, во многих отраслях науки и техники до сих пор используются приближённые вычисления, в которых используется «вавилонское» «пи равно трём». Например, в армии! И пехотинцев, и артиллеристов, и ракетчиков (вполне себе современных, между прочим) учат при определении расстояния до цели, что «по длине окружности укладывается 6 радиусов» – то есть, переводя на язык математики, «пи равно трём»! И для практических нужд – скажем, чтобы определить расстояние через дальномерную шкалу бинокля или оптического прицела – этого приближения более чем достаточно. В конце концов, какая вам разница – до цели ровно 200 метров или 211 с половиной? Всё равно прицел надо будет ставить на цифру «2»...
Впрочем, если вы думаете, что в древнем мире 4 тысячи лет назад не умели решать геометрические задачи точнее, чем вавилонские мудрецы, то ошибаетесь. Вавилонских мудрецов сумели переплюнуть древнеегипетские жрецы! Снова та же самая задача, только «по египетски»:
Под финиковые пальмы в саду фараона отведены одинаковые круглые участки. Ширина каждого участка 12 хет. Скажи площадь одного такого участка.
В древнем Египте про число «пи» точно так же слыхом не слыхивали. Но решали такие задачки весьма эффектно:
Умножь 12 на 12, получи 144. Теперь возьми от 144 семь девятых частей. Ты получишь 112 [квадратных] хет. Такова площадь участка.
«Ничего себе!» – скажете вы. «У египтян ответ получился почти что идеально правильный (112 вместо 113)! Но как, откуда они придумали такой способ решения? Почему именно семь девятых?». А между тем египетский способ до очарования прост и красив. Его очень легко нарисовать в тетрадке в клеточку – и сразу же понять «откуда у чего ноги растут».
Составьте из 9 единичных клеток (клеточки в тетрадке в помощь!) большой квадрат – «три клетки на три клетки», как на рисунке. Ширина такого квадрата – 3 клетки, а площадь – 9 квадратных клеток, не так ли? Теперь нарисуйте внутри этого большого квадрата круг. А теперь «срежьте» уголки квадрата и постройте неправильный восьмиугольник – посмотрите на рисунок и сразу же поймёте. Видите? Восьмиугольник по площади ну очень близок к кругу! Разница минимальная! А чему равна площадь восьмиугольника? 5 полных клеток, а четыре «уголка» у нас срезаны ровно напополам. То есть 4 половинки складываем вместе, получаем 2. Всего 5 + 2 = 7 клеток! Значит, площадь круга, вписанного в квадрат, почти точно равна 7/9 частей от площади этого квадрата! Если перевести древнеегипетское решение в современный формат, мы получим число «пи», равное 3 и 1/9, или примерно 3.11. Разница с современным числом «пи» – всего-навсего три сотых. Зато как просто и наглядно, а? И никакого калькулятора, и никаких формул из учебника!
Вдумайтесь: математические расчёты приходилось производить и в древнем мире, и в средние века, причём никто ни о каких калькуляторах слыхом не слыхивал. Ну ладно сложение и умножение – их можно выполнить «на пальцах», на счётах, на бумаге «столбиком» в конце концов. А как быть с более сложными вещами, например, с квадратным корнем? Как вычисляли этот самый корень сотни лет назад кораблестроители, архитекторы, финансисты, часовых дел мастера?
«По формуле?» – спросите вы. Поймите, что дело не в формуле, а в том, откуда эта формула берётся! Ну, как с площадью круга у древних египтян. Можно, конечно, бездумно зазубрить наизусть «эс равно семь девятых дэ квадрат». Но не проще ли нарисовать квадрат, круг и восьмиугольник? Вот и с корнем точно такая же ситуация.
Скажем, нам нужно посчитать квадратный корень из 12. То есть найти такое число, которое при умножении само на себя даст нам 12. Без калькулятора. Есть идеи? Неужели нет? А ведь всё довольно просто – только нужно научиться думать «с ошибками». Для решения практических задач нам совершенно не нужна сумасшедшая точность, которую даёт микрокалькулятор:
√12 = 3,4641016151377545870548926830117
Да и подставлять такое длинное число в расчёты долго и неудобно. Забудьте о калькуляторе! Нам не нужно «запредельно точное» значение! Как найти «примерно», ну?
Давайте снова обратимся к волшебной тетрадке в клеточку и нарисуем «по клеточкам» правильные квадраты:
Сторона 2 клетки, площадь (то есть «квадрат») 2 х 2 = 4. Сторона 3 клетки, площадь 3 х 3 = 9. Сторона 4 клетки, площадь 4 х 4 = 16. Сторона 5 клеток, площадь 5 х 5 = 25... Стойте! А где у нас в этом ряду число 12? Правильно, между числами 9 и 16! То есть между квадратами от 3 и от 4! А значит и квадратный корень от 12 находится где-то между 3 и 4! Осталось определить где именно.
Воспользуемся элементарным здравым смыслом. Давайте посмотрим на числа 9, 12 и 16 на числовой прямой. От числа 9 до числа 12 у нас получается 3 «шага» (12 — 9 = 3). А всего у нас «шагов» (от числа 16 до числа 9) 7 штук (16 — 9 = 7). То есть число 12 находится не «в серединке», а ближе к числу 9, чем к числу 16:
Попробуем взять «расстояние» от числа 9 до числа 12 и разделить на общее количество шагов. Получим 3/7 (округлённо 0.43). Значит, квадратный корень из 12 приблизительно равен 3 + 0.43 = 3.43... Проверим? Умножаем 3.43 «само на себя», получаем 11.76. Смотрите, мы «почти попали»! Ошибка есть, но очень небольшая (0.24, то есть 0.5%). И снова обратите внимание – никаких таблиц, никаких калькуляторов, просто листочек бумаги в клеточку и элементарная логика! Именно так люди находили значения квадратных (и кубических) корней и 500, и 1000, и 1500 лет назад – не имея никакого представления об электронных таблицах, цифровых компьютерах и прочих достижениях современной цивилизации.
С очень давних времён людям известна вот такая вот описанная нами выше приблизительная формула для вычисления квадратного корня (тут мы её записали уже «священными» математическими символами, ну, для пущей важности):
Причём совсем не обязательно запоминать формулу, главное увидеть «глазами» идею: заданное число n разделить на две части – p и q. Причём число p должно быть «целым» квадратом, ближайшим к нашему числу. Пример: найдём корень из числа 151. Вспоминаем: 12 х 12 = 144, но 13 х 13 = 169. Значит, наш корень находится «где-то между» 12 и 13. Тогда p = 144, q = 151 – 144 = 7. И корень равен 12 плюс 7/25, то есть 12.28. Проверяем на калькуляторе:
√151 = 12.288205727444507591812163554642
Получилось! Не слабо, а?! На языке современной математики описанные нами способы отыскания площади круга или квадратного корня называются интерполяцией. Слова «интерполяция» взрослые и дети обычно боятся – слишком уж оно страшно звучит. Однако на самом деле ничегошеньки страшного в нём нет, и происходит оно от латинского слова «интерполарэ», то есть «переделывать, подделывать, фальсифицировать». В этом вся суть: вместо точного значения нужной нам величины (площади, корня, какой-то сложной функции – совершенно неважно) мы используем «переделку», «фальшивку» – то есть удобную, простую и понятную модель, которая даёт нам хороший приблизительный (округлённый) результат. Можете сравнить это с тем, как портные при пошиве одежды используют манекены. Манекен – совсем не живой человек, но для того, чтобы сшить платье или костюм, в качестве «человека» вполне годится, ведь так?
Изучением «неточных», то есть приближённых вычислений занимается большая и важная отрасль математики, которая так и называется – теория приближений. Именно она занимается интерполяцией, экстраполяцией, разнообразными числовыми рядами, округлением, оценкой ошибок (по-научному «погрешностей») и так далее. Основная идея теории приближений очень даже проста и понятна даже ребёнку: если у нас есть что-то очень сложное, трудное и непонятное, надо его заменить на простое, лёгкое и понятное – но такое, которое было бы очень похоже на «то самое трудное». И вместо сложного и непонятного дальше исследовать и изучать (в том числе вычислять) уже простое и понятное. А если есть ошибка (погрешность) – ну и пусть, главное чтобы не была слишком большой! Вы можете сказать, что «так нечестно» – да, в какой-то степени нечестно. Но зато эффективно и работает! И за такие вот «ошибочные» решения специалисты по теории приближений получают те самые пятёрки...
Напоследок – сказка. Как-то раз к Математику в гости заглянул Физик. Физик был худой, озабоченный и очень грустный. А Математик сидел в кресле и потягивал мозгобафный (то есть усиливающий мыслительные способности) малиновый чай из гигантской кружки с модной надписью «#ЯКРУТ».
– Послушай, – сказал Физик, – у меня тут в одном эксперименте очень необычная зависимость получается. Как такие квадратные зубцы, ну прям как на стене у средневекового замка:
А чтобы продолжать исследование, мне надо как-то эти «зубы» в математику загнать, иначе компьютер не проглотит. Что делать?
– Пара пустяков! – лениво ответил Математик. Давай вот так запишем, и дело с концом:
y = sin x
– Ты что, издеваешься?! – воскликнул Физик возмущённо. – Это же волны, а мне нужно квадратные зубцы! Ты же мне обыкновенный синус нарисовал – это как наш дворник дядя Егор вечером от дружков возвращается, так про него бабульки у подъезда смеются: «нализался, теперь вот идёт по синусоиде!». Не пойдёт.
– Ну ты чего? – Математик даже обиделся. – Это же приближённая модель. Ну непохожа, зато смотри какая удобная. И в компьютер подставлять любо-дорого...
– Ну не похожа!! Не пойдёт я сказал!! Совсем разленился, ничего лучше не можешь предложить?! – рассердился Физик.
– Ну ладно, сейчас... – Математик подумал и написал:
y = sin x + 1/3 sin 3x
– И это тоже непохоже! Зубы какие-то! – Физик был непреклонен. Математик вздохнул и ещё раз переписал формулу:
y = sin x + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x
Физик задумался.
– Погоди, – сказал он. – Это, конечно, не совсем то, но уже близко... А ещё так сможешь?
– Фигня! – Математик отпил из кружки чаю и переделал формулу снова:
y = sin x + 1/3 sin 3x + 1/5 sin 5x + 1/7 sin 7x
– Так... – сказал Физик. – С каждым разом всё лучше и лучше... А ты, я заметил, используешь числа 1, 3, 5, 7 – то есть нечётные, правильно? А если я добавлю сразу числа 9, 11 и 13...
...ух ты! Смотри-ка, и вправду всё больше и больше похоже на то, что мне надо...
– Такая штука называется «тригонометрический ряд» – объяснил Математик. – Первое приближение было не очень точное, но чем больше ты будешь подставлять слагаемых, тем точнее будет результат. Вот и получишь в итоге свою «зубчатую стену», какую тебе надо, понял?
– А если в следующем эксперименте у меня будет снова стена с зубцами, только не квадратными, а как у Кремлёвской стены? Буквой «М»? – затаив дыхание, спросил Физик.
– Теория приближений может всё! – важно ответил Математик. – С помощью таких вот рядов я могу тебе «нарисовать» любую стену с зубцами любой формы! А главное – и на компьютере легко считается, и анализировать просто, в общем, царский подарок! Так что пользуйся! А я пойду чаю себе ещё налью, не возражаешь?
Читайте также:
Что такое "геометрия здравого смысла"?
Выпишите настоящий, бумажный журнал "Лучик" своим детям на сайте Почты России. Предварительно можно полистать журнал здесь.
