Наиболее обоснованной этимологией считается образование слова «тряпка» от глагола «трепать» (др.-русск. «трепати»).
Слово «тряпка» в исторических словарях фиксируется в следующих значениях: 1) 'ткань, лоскут' (и «тряпица» — с XVI века); 2) 'отделка по краям изделия, бахрома' (тоже с XVI века).
В других славянских языках есть похожие слова: чешск. třарес, střарес «кисть, махор», střepiti «размочаливать», словацк. strарес «бахрома, пучок», польск. strzępka «полевой хвощ», strzępić «мочалить».
Это наталкивает на мысль, что первоначально так называли именно бахрому, которая состоит из свисающих нитей. То, что можно разделить на части, растрепать.
Читаем у В. И. Даля: «растрепав тряпку, выделывают бумагу» (раньше для создания бумаги использовали остатки изношенных полотняных вещей, с крестьян даже брали «тряпичный» налог).
Интересно, что индоевропейский корень *trep-: *trop-, к которому возводят глагол «трепать», означает 'ступать, топотать, семенить ногами': отсюда и танец «трепак», и протоптанная дорога — «тропа».
Видимо, дело не только в ногах, но вообще в быстром движении: семенить ногами («тропать»), быстро перебирать руками («трепать»). К тому же можно трепать и языком (отсюда «трёп», «трепло»).
Эти значения в русском языке сосуществовали: «трепетуха» — 'та, кто быстро двигается' (XVII век), «трепец» — 'человек, занимающийся обработкой льна трепанием' (XVII век), «трепетник» — 'страдающий судорогами' (XV-XVI век).
Совсем рядом с «трепати» (и «тропати») по семантической близости стоят глаголы «трусить» и «трясти», которые возводят к индоевропейскому *trems-: *troms- 'дрожать, семенить ногами'. Видимо, у них с *trep-: *trop- 'ступать, топотать, семенить ногами' общий древний корень *tre: *tr, только с разными расширителями (по П. Я. Черных). Эти корни могут быть связаны с *ter 'тереть, растирать', отсюда слово «труха» — 'то, что перетёрто в пыль'.
Тогда становится более понятным слово «трепет» 'мелкая, прерывистая дрожь от волнения' от «трепетать» < «трепать» (как «лепет» от «лепетать»).