Привет, друзья. Мы уже обсуждали, что релятивистская энергия вблизи сферического гравитирующего тела сохраняется и не разделяется на кинетическую и потенциальную. Давайте разберёмся детально.
Итак, пусть тело А в пустоте (и в отсутствие гравитации) получило, в результате какого-либо взаимодействия, энергию Е. Если гравитация некоторого шара В есть, то энергия меньше: она равна SE, где S²=1-2a/r, а 2а — гравитационный радиус тела В, r — расстояние от А до центра В.
Если А не тело, а фотон, то на том и всё, энергия фотона Е пропорциональна его, фотона, частоте. Принимая постоянную Планка (и скорость света тоже) за единицу, получим, что энергия просто равна частоте.
Если А именно тело с массой m и скоростью v, то энергия тела равна γ(v)mc², где γ есть фактор Лоренца: γ²(1-v²)=1, c=1. А в гравитационном поле получится Sγ(v)mc². Только скорость надо брать физическую: измеренную рядом с телом.
Как мы тоже уже обсуждали, при малых (относительно скорости света) скоростях множитель Лоренца можно разложить по степеням и получить
γ(v) = 1 + v²/2.
Если гравитационный радиус 2а мал по сравнению с r, то тоже можно разложить:
S = 1 - a/r.
Если и то, и другое мало, так что произведениями малых величин мы пренебрегаем, то останется только три слагаемых (у нас с=1, пишем ее только для "красоты"):
E = mc² + mv²/2 - amc²/r.
Это и есть классическая энергия, которая сохраняется. Она разделяется на кинетическую (второе слагаемое), потенциальную (третье) и энергию покоя. Поскольку последняя сама по себе сохраняется в чисто механических процессах, то остается "школьный" закон сохранения. Если не узнаёте, запишите формулу для гравитационного радиуса: 2a=2GM/c², где G — гравитационная постоянная, а M — масса тела В.
Но это только тогда, когда гравитация слаба, а скорость мала. В общем же случае энергия на составные части не распадается, и для фотона, в частности, ни кинетическая, ни потенциальная энергия смысла не имеют.
Падающее на чёрную дыру тело сохраняет свою энергию. Сначала она разделяется на упомянутые три части, потенциальная убывает, кинетическая растёт. Потом уже разделять некорректно, но всё равно скорость приближается к с, γ к бесконечности, но r приближается к гравитационному радиусу 2a, так что S убывает, компенсируя рост γ, и энергия сохраняется.
Улетающее из окрестности горизонта тело тоже сохраняет свою энергию. Если где-то в бесконечности оно остановится, то его энергия известна: это mc². Там, в бесконечности, кинетическая равна нулю из-за остановки, а потенциальная равна нулю из-за отдаленности. Вблизи горизонта событий энергия такая же, но для компенсации малого (из-за близости к горизонту) S требуется большой (за счет скорости) γ.
Теперь самое интересное: фотон. Его энергия сохраняется и не делится на кинетическую и потенциальную. А энергия равна частоте, то есть частота фотона не меняется. Пусть некий атом излучает фотон с частотой (энергией) е. Улетая от массивного тела, фотон имеет энергию Sе, а поглотившись вдали, имеет эту же энергию Е. Но энергия сохраняется, то есть Se=E.
Мы регистрируем энергию-частоту Е, и она меньше, чем е, которую мы ожидали от данного вещества. Более низкая частота означает смещение в сторону более длинных волн, то есть к красной части спектра. Это красное смещение. Гравитационное красное смещение.
То есть фотон не теряет энергию на борьбу с гравитацией! Он излучается (скажем, цезием) более красным, чем тот же цезий излучил бы без гравитации. Причина в том, что вблизи гравитирующего тела замедляется время, то есть любые длительности более длинные, чем по отдаленным часам. Период колебаний больше, значит, частота колебаний меньше.
Получается тонкость, о которой писал акад. Окунь: если мы ловим на разных расстояниях взлетающие с нейтронной звезды фотоны, то они всё краснее и краснее — тем краснее, чем дальше он пойман. И это можно было бы объяснить потерей энергии, но такое объяснение чревато парадоксами. Окунь рассматривает один такой парадокс, и мы тоже рассмотрим в другой раз. Правильное объяснение — гравитационное замедление времени. Чем больше разность потенциалов, тем сильнее отклоняется частота фотона в красную сторону.
В общем-то, любое использование кинетической либо потенциальной энергии в случае высоких скоростей (v≈c) или сильной гравитации (r≈2a) приводит к ошибкам просто потому, что приближение перестаёт работать. Ну вот есть приближенная формула (1+x)⁻¹≈ 1-x, и она прекрасно работает для 1/1.01, поскольку дает 0.99 вместо 0.990099. Но для 1/0.5 она уже не так хороша (0.5 вместо 2), а для 1/2 просто непригодна. Ну и если мы возьмем формулу для потенциальной энергии в виде GME/(c²r), подставим туда r=2GM/c² (гравитационный радиус тела) и получим E/2. То есть фотон, улетающий почти с горизонта событий чёрной дыры потеряет половину энергии. А половину сохранит. Всё так, кроме одной мелочи: вместо формулы для потенциальной энергии можно было взять любую другую, с тем же (не)успехом.
Есть один нюанс, который мы проясним в другой раз: когда нам на голову падает что-то, нас волнует в первую очередь кинетическая энергия, а потенциальная не волнует вовсе. А как быть с фотонами и вообще в релятивистском случае? Скоро обсудим.
До связи.