На что делится ноль?
Вы можете сказать: "Да, ни на что он не делится!", и будете правы, пока думаете о целых или натуральных числах. Но числовые системы бывают разные и в некоторых из них вопрос из заголовка не только имеет смысл, но и даёт глубокое понимание природы числа, как алгебраического объекта.
Продолжаем серию заметок, посвящённых "внутреннему устройству" числовых систем на примере пальцев на руках. Начало серии тут:
* * *
Целых чисел очень и очень много, но среди них нет ни одного делителя нуля, то есть такого числа x, которое могло бы быть решением уравнения:
ax = 0 при a, x ≠ 0.
А что если чисел в арифметике станет меньше? Как ни странно, в этом случае шансы найти нетривиальные решения этого уравнения есть!
Друзья Енота знают, что бывают конечные арифметики, в которых можно отыскать то, чего нет в больших арифметиках. А недавно мы познакомились с числовыми кольцами и начали изучать два простых примера: кольца ℤ/5ℤ и ℤ/10ℤ. В них-то мы и поищем эти странные делители.
Вот как выглядят таблицы умножения для этих двух колец:
Напомню, что заучивать эти таблицы не нужно. Чтобы вычислить сумму или произведение двух чисел в ℤ/10ℤ достаточно вычислить его в целых числах и оставить только последнюю цифру. В кольце ℤ/5ℤ всë то же самое, как и в ℤ/10ℤ, только если ответ оказывается больше пяти, следует вычесть из него пятерку.
Делители нуля
Главная особенность, которая бросается в глаза: в таблице умножения для ℤ/10ℤ есть нули! Это интересно! Раз 2×5 = 0, то это значит, что произведение двух ненулевых чисел смогло стать нулевым. Получается, что в ℤ/10ℤ все чётные числа и пятёрки являются делителями нуля. Формально значит, можно записать что 2 = 0÷5.
Школьникам, заучивающим таблицу умножения, делители нуля только на руку: чем больше круглых чисел в ней окажется, тем проще учить. Но с точки зрения алгебры, это, прямо скажем, неприятность. Она означает, что решать уравнения типа (x − a)(x − b) = 0 не так просто, как в целых числах, поскольку никаких гарантий, что какое-то из множителей равно нулю нет. Вместо этого, мы имеем целых 2×4 + 2 = 10 вариантов получить верное равенство.
На ноль делить нельзя нигде, даже в кольцах. Однако делители нуля в некоторых кольцах присутствуют и, как видим, несколько портят в них общую картину.
А вот в кольце ℤ/5ℤ такого безобразия нет, так что в этом смысле ℤ/5ℤ ближе к целым числам, чем ℤ/10ℤ. Кольца, без делителей нуля называются областями целостности. Самый привычный для нас пример области целостности — целые числа (отсюда и название).
Кто прячется в кольце?
Что ещё интересного можно сказать про делители нуля в ℤ/10ℤ? Давайте выпишем их все: это числа 2, 4, 6, 8 и 5. Вот как выглядят "звездочки" на циферблате для этих чисел:
А теперь сравним их с устройством кольца ℤ/5ℤ:
Смотрите-ка делители нуля образуют внутри ℤ/10ℤ полноценное кольцо идентичное ℤ/5ℤ. А "звездочка" для числа 5 в ℤ/10ℤ соответствует кольцу всего с двумя делениями ℤ/2ℤ.
Конечно же, это не случайно!
Подкольца и идеалы
Кольцо ℤ/10ℤ, действительно, содержит внутри себя два полноценных кольца с элементами {0, 2, 4, 6, 8} и {0, 5}.
Если оперировать только чётными числами и нулём, то любая их сумма будет чётной, так же как и любое их произведение. Это же относится и к числам, кратным пяти: сложение и перемножение этих чисел в результате опять производят числа кратные пяти. Это свойство множеств называется замкнутостью относительно той или иной операции.
Тут важно заметить, что под операциями сложения и умножения в этих кольцах понимаются операции из ℤ/10ℤ. Это тонкий момент. Сумма чисел 2 и 6 будет разной в разных кольцах: например, в кольце ℤ/5ℤ, где 6 = 5 + 1 = 1, их сумма равна 3, то есть, перестаëт быть чëтной. А в ℤ/10ℤ или в ℤ чётность при сложении чётных чисел сохраняется.
Итак, в кольце ℤ/10ℤ обнаружились два подкольца, то есть, две числовые системы, замкнутые относительно сложения и умножения, принятых в кольце.
Более того, можно заметить, что если умножить любое число из ℤ/10ℤ на любой элемент из подкольца {0,2,4,6,8}, то результат обязательно окажется в этом подкольце. Действительно, любое нечётное число, умноженное на чётное даст чётный результат, и оказавшись таким образом внутри подкольца, из него ему уже не выбраться ни сложением, ни умножением с элементами подкольца. То же самое верно и для подкольца {0,5}: какое бы число мы не умножили на 5, результат будет либо пятёркой, либо нулём.
Подкольца, обладающие такими поглощающими свойствами, называются идеалами и играют очень важную роль в теории колец.
Первым понятие идеальных чисел ввел в середине XIX века немецкий алгебраист Эрнст Куммер. Он обнаружил их и описал их замечательные свойства, борясь со знаменитой Великой теоремой Ферма. За работы над идеальными числами он получил Большой приз Парижской Академии наук. Позже, ученик Гаусса, Юлиус Дедекинд, которому мы обязаны появлению теории колец, обобщил идеальные числа до идеалов в произвольных кольцах и стех пор они стали одним из важнейших понятий в алгебре.
А есть ли идеалы в ℤ/5ℤ? Есть, но они не интересные. Один из них состоит из одного только нуля. Действительно, сумма и произведение нулей дает только нули, так же как и произведение нуля и любого элемента кольца. А второй идеал — это всë кольцо целиком. Такие идеалы обязаны быть в любом кольце, и никакой информации о кольцах они не несут.
Можно показать, что количество элементов в нетривиальном подкольце обязательно должно быть делителем количества элементов в кольце. Поскольку 10 = 2×5, то кольцо с десятью элементами способно иметь два подкольца: с пятью и двумя элементами. Они же оказались идеалами, что, в общем, не обязательно. В тоже время, число 5 — простое. Поэтому ℤ/5ℤ тоже будет простым кольцом, оно не может иметь нетривиальных подколец, а значит, и идеалов.
Нетривиальные идеалы выявляют структуру колец, наподобие того, как делители числа дают информацию о числе. У них даже есть своя классификация, но мы туда не полезем.
В привычном нам кольце целых чисел ℤ тоже есть идеалы. Это все подмножества чисел, кратных какому-то одному. Так все чëтные числа образуют идеал, все числа, кратные трëм или десяти и т.д. Для них принято обозначение nℤ, показывающее, что это множество можно получить умножением каждого целого числа на n. Например, множество чисел, кратных семи {..., −35, −28, −14, −7, 0, 7, 14, 28, 35, ...} является идеалом 7ℤ в ℤ.
Вы можете сами проверить, что такие подмножества образуют подкольца, и более того, эти множества обладают свойствами идеалов и способны "поглощать" любые другие числа посредством умножения на любой свой элемент.
Кстати, в обозначении кольца вычетов ℤ/5ℤ, выражение "5ℤ" − это обозначение идеала из кольца ℤ, а знак / обозначает факторизацию, но об этом мы поговорим позже.
* * *
На сегодня пока хватит идеальности. А для тех, кому стало любопытно, есть Задание:
- Поищите делители нуля на циферблате часов, то есть в кольце ℤ/12ℤ, и выпишите его идеалы.
- На примере ℤ/12ℤ, убедитесь в ещё одном "идеальном" свойстве идеалов: пересечение идеалов тоже является идеалом.
Продолжение темы: