Что бы ещё такого поделить! Ноль мы уже делили и получилось интересно. Пора выяснить на что может делиться единица!
В этой серии заметок мы обнаруживаем кое-какие непростые концепции из теории чисел и абстрактной алгебры в простейших конечных арифметиках, доступных каждому, у кого есть пять пальцев на руке или на лапе.
Начало серии тут:
Напомню, что предмет наших исследований — два кольца вычетов с пятью элементами ℤ/5ℤ, и с десятью ℤ/10ℤ, которые моделируют вычисления на закольцованной числовой оси, либо на циферблате с пятью и десятью делениями.
Таблицы сложения в этих кольцах тоже есть, но они не очень интересны, и складывать проще в уме. Вообще, все арифметические действия в кольцах вычетов можно просто делать мысленно, вычисляя результаты в обыкновенных целых числах, а потом находя остаток от деления на 5 или на 10, соответственно.
В предыдущией заметке мы выяснили, что в кольце ℤ/10ℤ есть делители нуля, которые порождают подкольца, которые имеют примечательное свойство "поглощать" другие элементы и называются идеалами. При этом в ℤ/5ℤ ничего такого нет, поэтому это не просто кольцо а простое кольцо и область целостности.
Стоит отметить, что в большом кольце целых чисел, которое мы обозначаем ℤ, делителей нуля нет, но оно не простое, идеалы в нём есть: это все числа кратные какому-то одному числу, например, все чётные числа или все числа, делящиеся на 3. Так что идеалы не связаны напрямую с делителями нуля.
Делители единицы
А теперь давайте обратим наше внимание на единицы в таблицах умножения. Они выделены синим цветом.
Среди целых чисел есть только два числа, которые в произведении дают единицу, это 1 и −1. В ℤ/10ℤ единицу представить в виде произведения, можно тремя разными способами (с точностью до коммутативности):
1 = 1×1 = 3×7 = 9×9.
Эти числа: 1, 3, 7, 9 в ℤ/10ℤ так и называются делители единицы и они же являются обратимыми элементами кольца. Обратимые элементы способны быть решениями уравнения a x = 1. В нашем случае, уравнение решается только если если a или x = 1, 3, 7 или 9. При этом числа 3 и 7 являются взаимно обратными, а 9 — обратно самому себе:
Тут полезно вспомнить, что у всякого элемента в кольце имеется противоположный элемент, такой, что в сумме они дают 0. Причём 1 противоположно 9, а 3 противоположно 7. Это значит, что мы можем формально написать, что 9 = −1 и 7 = −3. Таким образом, делителями единицы в ℤ/10ℤ будут ±1 и ±3. А единицу можно получить такими тремя способами:
1 = 1×1 = −3×3 = (−1)×(−1).
Первый и последний способы имеются и в кольце целых чисел, а вот −3×3 — это уже особенность ℤ/10ℤ. Теперь, кстати, становится понятно, что значит, что число 9 обратно самому себе. Если записать его как −1, то выражение 9 = 1/9 запишется как −1 = 1/(−1). Это равенство верно для всех колец.
Ещё вот на что следует обратить внимание: строки и столбцы для делителей единицы содержат все ненулевые элементы кольца. Помните, "звездочки" для 1, 3, 7 и 9 честно проходили по всем делениям циферблата без пропусков. Это фундаментальное свойство делителей единицы. Оно означает, что любое число в кольце можно представить как произведение какого-либо элемента и делителя единицы, а значит, линейные уравнения вида 3x = b, 7x = b, 9x = b решаются для любого b из ℤ/10ℤ.
А что в ℤ/5ℤ? Тут единицы встречаются в каждом ряду, так что в ℤ/5ℤ все без иключения ненулевые элементы являются делителями единицы и обратимыми элементами. Это, в свою очередь, означает, что в ℤ/5ℤ можно решить любое линейное уравнение. И если в ℤ/10ℤ. уравнение 2x = b ожидаемо решается только для чётной правой части, в ℤ/5ℤ нет проблем решить уравнение 2x = 3, потому что 2 — это обратимый элемент, а значит, формально, 3/2 = 4.
Ещё один термин — поле
Области целостности, в которых все элементы обратимы (а, значит все линейные уравнения имеют решения), называются полями. Как видим, ℤ/5ℤ хоть и маленькая арифметика, но является полем.
В 1905 году Джозеф Веддербёрн доказал что, все конечные области целостности являются полями. То есть, если в таблице умножения для конечного кольца нет нетривиальных нулей, то все его элементы обратимы и все линейные уравнения разрешимы.
Арифметика на бесконечном множестве целых чисел, хоть и является областью целостности, но поле не образует. Наименьшее поле с бесконечным числом элементов формируют рациональные числа. В рациональных числах можно решить любое корректное линейное уравнение (если не делить на ноль) и не стоит вопрос о делимости чисел: все делятся на всех.
Среди модулярных арифметик те, которые образованы простыми модулями, такие как ℤ/2ℤ, ℤ/3ℤ, ℤ/5ℤ и т.д. являются полями. В то время, как кольца вычетов по составных модулям: ℤ/6ℤ, ℤ/8ℤ, ℤ/10ℤ и т.д. являются просто коммутативными кольцами.
На что ещё похожи делители едницы?
Напоследок, давайте ещё раз обратим наше внимание на множество делителей единицы в ℤ/10ℤ — {1,3,7,9}. Не образуют ли и оно идеал? Не похоже. Это даже не подкольцо, потому что сумма любых двух элементов из него выходит за пределы множества. Но зато произведение любых этих чисел замкнуто внутри множества. Посмотрите на таблицу умножения для них (напомню, что умножаются все эти числа в ℤ/10ℤ, то есть 3×7 = 1, как в большой таблице):
Эта подсистема, образованная делителями единицы, называется мультипликативной группой обратимых элементов кольца ℤ/10ℤ. И вот что замечательно: с точностью до замены 3 → 2, 7 → 3, 9 → 4 её таблица умножения эквивалентна таблице умножения из ℤ/5ℤ!
В поле ℤ/5ℤ все элементы делят единицу, значит мультипликативная группа обратимых элементов совпадает с группой умножения в этом кольце, вернее, в поле.
О группах мы в этой серии заметок отдельно не говорили. В отличие от колец и полей, они в меньшей степени похожи на числа и заслуживают отдельного рассказа. Об устройстве групп умножения и о решении уравнений в наших кольцах мы подробнее поговорим в другой раз.
* * *
Ну, и, как обчно, для тех, кому стало интересно, есть
Задание:
Выпишите для циферблате часов, то есть для кольца ℤ/12ℤ, делители единицы и таблицу умножения для мультипликативной группы обратимых элементов.
Следующая часть посвящена делению с остатком в кольцах остатков: