Это начало серии заметок, в которой мы постараемся досконально исследовать устройство обычной таблицы умножения, а заодно, познакомиться с некоторыми элементами теории чисел и теории колец.
Таблица умножения всем нам привычна и кажется простой и понятной. Однако на неё стоит взглянуть внимательно и она расскажет нам кое-что новое о числах. Причём о числах не как о количествах чего-то, а как о более общих и универсальных алгебраических системах.
В одной из прошлых заметок я писал про маленькие, но гордые конечные арифметики. Оказывается, привычный нам циферблат часов или цифры, используемые для записи чисел, образуют самостоятельные арифметики, причём, в чём-то они могут быть круче привычной нам арифметики целых чисел.
Но может возникнуть вопрос: а почему я называю их арифметиками? Достаточно ли возможности складывать и умножать для того, чтобы носить это гордое имя? А как в них обстоят дела с делимостью, с решением уравнений, с простыми числами, с основной теоремой арифметики, наконец?
Сразу скажу, тут всё непросто. Но ведь тем и интереснее! К тому же, как известно, распределение простых чисел и в привычной нам арифметике целых чисел представляет многовековую загадку. Я приглашаю к дальнейшему исследованию читателей, умеющих радоваться открытиям, которые таятся в весьма простых и обычных, на первый взгляд, вещах.
Колечко, колечко, кольцо...
У енотов, как известно, на передних лапах есть прекрасные десять пальцев. Поэтому еноты используют десятичную систему счисления. Наверное. Однако, если одна лапа будет занята чем-то вкусным, ловкий енот может использовать для счёта только одну свободную лапу, переходя на пятиричную систему счисления. Теоретически.
И у нас с вами тоже есть такие лапы, так что давайте изучим арифметики, которые образуют одна и две наши с енотами лапы. Для таких арифметик есть принятые обозначения: ℤ/5ℤ для пяти пальцев и ℤ/10ℤ для десяти. Обозначение несколько странноватое, но оно имеет смысл и до него мы тоже доберёмся. Стоит сказать, что арифметику целых чисел принято обозначать как ℤ.
Одна лапа
Начнём мы свой анализ с того, что станем возить пальцем по кругу! Нарисуем циферблат с пятью делениями и пройдёмся по нему делая шаги по одному, два, три и четыре деления:
Мы получили симпатичные "звёздочки", которые демонстрируют построение таблицы умножения в ℤ/5ℤ! Каждая из этих "звёздочек" соответствует своему ряду в таблице умножения.
Таблица сложения в этой арифметике устроена очень просто: каждая строка получается циклическим сдвигом предыдущей. Это соответствует идее сложения, как сдвига числовой оси, но поскольку ось у нас зациклена, то роль сложения с числом на циферблате выполняет поворот всего циферблата на соответствующее числу количество делений.
В ℤ/5ℤ верно, что 1 + 4 = 2 + 3 = 0, а значит пары чисел (1, 4) и (2, 3), это пары противоположных друг другу чисел. Это же показывают и "звёздочки": умножение на 1 и умножение на 4 выглядят одинаково, но производятся в противоположную сторону. То же верно и для умножения на 2 и на 3.
Противоположными положительным числам в целых числах являются отрицательные. Но в нашей конечной арифметике отрицательных чисел нет, а их роль берут на себя обыкновенные числа. Поэтому мы не будем использовать термин "отрицательные числа" применительно к конечным арифметикам, поскольку каждое число одновременно является и положительным и отрицательным. Например, раз 3 + 2 = 0, то −3 = 2, и в тоже время −2 = 3. Лучше говорить, что 2 и 3 противоположны друг другу.
Из симметрии, которую образуют противоположные числа, следует симметрия таблицы умножения относительно диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний. А то что эта таблица симметрична относительно другой диагонали, идущей от левого верхнего угла до правого нижнего, значит, что для умножения выполняется перестановочный закон. Алгебраисты говорят, что в таком случае "умножение коммутативно". Кроме того, для умножения выполняется и сочетательный закон: a×(b×c) = (a×b)×c. Это свойство у алгебраистов называется ассоциативностью, оно позволяет не писать лишних скобок. Кроме того, для умножения в ℤ/5ℤ выполняется распределительный закон, который алгебраисты зовут дистрибутивностью.
В отличие от привычной нам арифметики, геометрически продемонстрировать эти два закона для конечной арифметики не так просто. Но поскольку она конечна, то можно просто перебрать все сочетания из трёх элементов и убедиться в их справедливости. Сейчас поверьте мне, или проверьте сами, но все эти законы выполняются.
А ещё обратите внимание на то, что все "звёздочки" в ℤ/5ℤ честно проходят через все числа. Это интересно: многократным вычитанием любого числа из любого можно попасть в ноль, а это значит, что в нашем кольце любое число делится на любое число. Но об этом мы подробнее поговорим позже.
Как всё это правильно назвать?
Перед тем, как продолжать, надо поговорить про правильные имена и названия. У нас тут не учебник, а занимательные заметки, однако термины — вещь нужная и точность в них небесполезна. С этого момента я буду избегать слова "арифметика", а вместо этого стану использовать более точный математический термин кольцо, который ввел в широкий обиход великий Давид Гильберт.
Кольцом в математике называются числовые системы, в которых определена операция сложения с перестановочным и сочетательным законами, а также операция умножения с сочетательным и распределительным законами. Все эти законы те же самые, что мы проходили в школе. Кроме того, все элементы кольца можно разбить на пары противоположных друг другу так, что числа в этих парах в сумме дают ноль.
Легко убедиться, что числовое кольцо образуют целые числа. А любимые нами натуральные — не образуют, поскольку среди них нет противоположных (отрицательных) чисел. Рациональные и вещественные числа тоже образуют кольца. Исследованием свойств этих и куда более сложных объектов занимается весьма содержательный раздел алгебры: теория колец.
Так что мы теперь можем сказать, что числа на круглом циферблате с пятью делениями образуют кольцо ℤ/5ℤ с циклическим сдвигом в качестве операции сложения и многократным повторением сдвига в качестве умножения. И вообще, циферблаты с любым числом одинаковых делений и описанными выше операциями, образуют кольца. Такие арифметики называются кольцами вычетов или модулярными арифметиками. Кроме них можно строить и другие конечные кольца, но этим мы пока заниматься не будем. Хватит с нас пока и алгебры "на пальцах".
Мы не просто балуемся с отвлечёнными математическими конструкциями, мы следуем путём Леонарда Эйлера, заложившего основы теории делимости, Фридриха Гаусса, детально исследовавшего модулярные арифметики, а также Ричарда Дедекинда, Давида Гильберта, Эмми Нёттер и других замечательных математиков. Результаты теории вычетов и теории колец сейчас лежат в основе алгебраической геометрии и используются для решения ряда прикладных задач геометрии, комбинаторики, криптографии и т.д.
Две лапы
Ну что, посмотрим что у нас делается в кольце ℤ/10ℤ? Опять сначала нарисуем звёздочки:
Тут у нас получился целый цветник разнообразных звёздочек! Симметрия между противоположными числами тут тоже очевидна: все числа делятся на пары противоположных, в сумме дающих 0: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5). Число 5 особенное — оно противоположно самому себе, как число ноль. Ни в ℤ, ни в ℤ/5ℤ таких чисел, кроме нуля, нет.
Таблица сложения в этой арифметике устроена также как и в ℤ/5ℤ: каждая строка получается циклическим сдвигом предыдущей, так что рисовать мы её не будем, а сразу перейдём к таблице умножения:
Эта таблица нам уже знакома, некоторые её особенности мы уже обсуждали в заметках о признаках делимости на степени двойки и о симметриях таблицы Пифагора. Но есть в этой таблице несколько по-настоящему занятных особенностей.
Во-первых, в ней появились нули, как результат перемножения чётных чисел с пятёркой.
Во-вторых, есть строчки, в которых присутствуют все числа, а есть те, в которых наблюдаются только чётные.
Наконец, в отличие от ℤ/5ℤ, некоторые "звёздочки" проходят не по всем числам, а проскакивают часть из них. Это значит, что в этом кольце некоторые числа могут не длиться на другие, а это значит, что в кольце ℤ/10ℤ имеет смысл рассуждать о простых и составных числах, тогда как в ℤ/5ℤ такого разделения чисел нет.
Заучивать полученные таблицы сложения и умножения не нужно, потому что выбранные нами кольца очень удобны для пятипалых математиков. Чтобы вычислить сумму или произведение двух чисел в ℤ/10ℤ достаточно вычислить его в целых числах и оставить только последнюю цифру. Например, 6×8 + 4 = 52 в ℤ и 6×8 + 4 = 2 в ℤ/10ℤ. В кольце ℤ/5ℤ всë то же самое, как и в ℤ/10ℤ, только если ответ вышел больше пяти, нужно вычесть из него пятерку. Таким образом 6 = 1, 7 = 2, 8 = 3 и 9 = 4.
"Звёздочки" помогли выявить основные особенности наших колец. А что эти особенности означают, мы обсудим в следующий раз.
Для тех, кто хочет потренироваться, есть несложное
Задание:
Постройте звёздочки и таблицу умножения для циферблата обычных часов, то есть, для кольца ℤ/12ℤ.
Продолжение серии:
────────────────────────
Хотите, чтобы в вашей ленте Дзена было больше интересных и глубоких материалов? Подскажите алгоритму Дзена, что там нравятся публикации, подобные этой, подпишитесь, поставьте лайк или прокомментируйте.
Давайте формировать информационную среду вместе!