В этимологических словарях можно встретить объяснение, что древние славяне использовали ткань в качестве денег, поэтому глагол «платити» этимологически связан с «платъ» (ткань), отсюда «платок».
Лингвисты делают такие выводы, так как опираются на заметки о славянах еврейского путешественника Ибрагима ибн Якуба, который жил в начале Х века. Путешественник писал, что славяне делали легкие платочки, как сети, а потом ими рассчитывались друг с другом (текст здесь): «ими покупается пшеница и мука и лошади и золото и серебро и всякие вещи».
Но этот вопрос до сих пор остается дискуссионным. Поэтому считать такую этимологию обоснованной не совсем верно. Да и переход значения от ткани к оплате выглядит сомнительным (почему именно платки?).
Что нам вообще известно об этих словах с точки зрения лингвистики?
Конечно, нет сомнений, что слово «платок» происходит от древнерусского «платъ» — это 'кусок любой материи', слово известно с 1073 г (для сравнения в ст.-польск. płacie «лоскут»).
Отсюда и слово «платье», так называли не только конкретный женский вид одежды, а вообще 'то, что человек надевает на себя', слово зафиксировано в 1397-1467 годах: «... свекру или деверю отдать платье...». Любую верхнюю одежду называли словом «платно», легко здесь узнать слово «полотно», но только с полногласием.
Кроме того, древнерусский глагол «платити» зафиксирован в значении 'чинить, ставить латки'. Отсюда же и «латать» (как и чеш. lata «заплата», látkа «материал», польск. łаtаć «чинить»), а также, возможно, существительное «ластовица» (т. к. сербохорв. ла̀тица «ластовица»).
По мнению О. Н. Трубачева, корень *lata у древних славян означал 'болтающийся лоскут, обрывок, клочок', от индоевропейского *lat- 'хватать'. То есть «латка» — это 'то, что оторвали', кусок от целого, который можно пришить и как-то использовать в быту.
Семантически этот корень, конечно, можно связать с «платком» и «платьем», но не особо понятно, откуда взялся звук [п] в начале слова, если исконный корень *lat-.
К счастью, мне удалось найти другую этимологическую реконструкцию.
Привычное для нас значение у слова «плата» (платить) развилось ещё в праславянский период, до расселения славян. Потому что подобные слова есть в других славянских языках: словен. рlȃt «награда», чеш. рlаt «плата», рláсе «вознаграждение», словен. platíti, чеш. platiti, слвц. рlаtit᾽, в.-луж. рłасič, н.-луж. płaśiś.
Лингвист А. К. Шапошников возводит «платить» (плата, оплачивать) к индоевропейскому корню *plētos 'выполненный, полный' от *pel-: *pēl-: *pol-: *pl- 'приобретать, добывать, получать прибыль'. Сюда же относит и слова «плен», «полонить». По мнению лингвиста, «плата» — это буквально 'выполнение (обещанного вознаграждения)' за приобретение чего-то другого.
А вот славянское «платъ» (платок) А. К. Шапошников относит к индоевропейскому *p[e]lHt- 'широкий'. От этого же корня существительное «плащ» и прилагательное «плоский».
Слова «латка», «латать» сначала считались областными, видимо, в народных говорах начальный звук [п] отпал по каким-то фонетическим причинам.
Таким образом, эти слова можно разделить на две группы, происходящие от разных корней.
1. «Платить» (оплачивать), «плата» (оплата) — от *pel-: *pēl-: *pol-: *pl- 'приобретать, добывать, получать прибыль'.
2. «Платок», «платье», др.русс «платити» 'чинить', «латать», «заплатка», «полотно», «плащ», «ластовица» — от *p[e]lHt- 'широкий'.
Такая этимология кажется вполне логичной. А вы что думаете?