У одних целых чисел есть друзья, а другие одиноки. У кого есть друзья? У тех, кто может разделить с другом общие свойства. В теории чисел мы часто интересуемся делимостью, и в этой истории тоже речь идет о делимости. Для каждого натурального числа N определим его «достаток»:
S(N)= (сумма делителей N)/N. Вот как можно посчитать достатки первых шести натуральных чисел:
Друзьями считаются числа с одинаковым достатком. Например, сумма делителей числа 4320 равна 15120, сумма делителей числа 4680 равна 16380. Достатки у этих чисел одинаковы и равны 3,5. Поэтому 4320 и 4680 — друзья.
Дружить парами необязательно, можно собираться в группы побольше.
Вот пятерка друзей: 420, 7440, 8190, 18600, 121920 — достатки одинаковы у всех пяти чисел.
Одинокими, понятно, называются числа без друзей.
Доказать, что у числа есть друг — легко; достаточно друга предъявить. А вот доказать, что друзей нет, обычно сложнее. Первые подозреваемые на одиночество — простые числа. Довольно легко убедиться в том, что все они одиноки.
Про некоторые числа неизвестно, насколько они одиноки — это нерешенная задача. Самое маленькое из таких чисел — 10. Никто не знает, есть у него хотя бы один друг, или нет.
Кстати: числа-друзья — совсем не то же самое, что дружественные числа.
Решение задачки про часы
Задачка про часы была за 12 дней до Нового Года. А вот что было за 11 дней: простые числа и треугольник Паскаля, за 13: архимедовы тела, за 14: в поисках Эйнштейна,...
Треугольные часы показывают время шариками:
До полудня выкладываются зеленые шарики, после полудня и до полуночи -- красные. Ровно в полдень и ровно в полночь все шарики белые. Далее шарики заполняют ряды снизу вверх и слева направо. Цены шариков в минутах:
Например, если во втором сверху ряду занят один шарик, то надо прибавить 120 минут, если два -- то 240 минут. Посчитаем время на этом рисунке:
В минутах это 360+30+30+6+6+6+6+1
Или 7 часов и 25 минут. Шарики красные, а не зеленые, значит, обед уже был, время 19:25.