Ну казалось бы: Архимед жил давным давно, больше 2200 лет назад, так что мы должны бы знать, что такое тела его имени. (А если не знаем, то посмотрим в википедии.)
Но не все так просто. Работа, в которой Архимед обсуждал эти тела, не дошла до нас, и мы точно не знаем, какие именно тела он имел в виду. И до сих прямо вот уж точного определения нет.
Вот с платоновыми телами никаких непоняток нет — их ровно 5, это выпуклые тела, у которых все грани — одинаковые правильные многоугольники. Поэтому игральные кости часто делают в форме платоновых тел. Если такую кость бросить, то все грани выпадают с равными вероятностями.
Задачка. На картинке семь игральных костей. Какие из них имеют форму платонова тела?
Теперь разберемся с архимедовыми телами. Арихмедовы тела тоже выпуклые, и их грани — тоже правильные многоугольники, но не обязательно все одинаковые.
Еще пример. Приклеим на куб четырехугольную пирамиду с одинаковыми рёбрами.
Это выпуклое тело, все его грани -- правильные многоугольники, квадраты и треугольники. Но это не архимедово тело. Его вершины устроены неодинаково: в одних сходятся только квадраты, в других квадраты и треугольники, а на макушке — только треугольники.
У архимедовых тел все вершины должны быть устроены одинаково. Вот, например, усеченный куб. От каждой вершины откусили по пирамидке, и теперь грани куба превратились в правильные восьмиугольники (красные), а на месте откуса образовались правильные треугольники (жёлтые).
Здесь два вида граней — одинаковые правильные восьмиугольники и одинаковые правильные треугольники. 1) Все вершины устроены одинаково — в каждой сходятся по два восьмиугольника и по одному треугольнику. 2) Если мы возьмем две какие-нибудь вершины, то можно так повернуть, отразить или подвинуть это тело, что одна вершина перейдет в другую, а местоположение тела не изменится.
Оказывается, условия 1 и 2 не означают одно и то же. А какое условие взять за определение архимедова тела, за две тысячи лет так и не договорились. Поэтому иногда архимедовых тел насчитывают 13 (это когда в определение добавляют условие 2), а иногда 14 (это когда в определение добавляют условие 1). Но это значит, что должен существовать такой многогранник:
- Он выпуклый
- У него несколько видов граней, и к одному виду относятся одинаковые правильные многоугольники
- Все его вершины устроены одинаково
- Но не все вершины можно перевести одну в другую симметрией этого многогранника.
Как его построить? Начнем с ромбокубооктаэдра.
У него много симметрий — преобразований, которые переводят его в себя. В каждой вершине сходятся по три квадрата и одному треугольнику. Сейчас мы ему симметрии-то подпортим. Вот по экватору ромбокубооктаэдра идет поясок из 8 квадратов. Отрежем «донышко» ниже этого пояска:
Белое сечение имеет форму правильного восьмиугольника. Теперь повернем «донышко» на восьмую часть круга и приклеим обратно, чтобы желтый квадрат приклеился к желтому квадрату, а красный треугольник — к синему квадрату. Получится многогранник, который называют псевдоромбокубооктаэдром:
Все его вершины устроены одинаково, но если мы его разрежем пополам, ровно посредине пояска из квадратов, то эти две половинки не будут симметричны друг другу.
Так что мы будем считать, что архимедовых тел ровно 13 — в честь праздника «тринадцать дней до Нового года». Тогда архимедовы тела выпуклы, его грани — правильные многоугольники, и любая вершина переходит в любую симметрией многогранника.