Есть такой термин: "замечательные кривые". Он относится к кривым линиям, которые часто встречаются в природе, имеют какие-то необычные особенности или красивые уравнения. К замечательным кривым принято относить параболы, эллипсы, лемнискату, циклоиду, конхоиду, кардиоиду, логарифмическую спираль, спираль Фибоначчи и другие. Вы может с помощью поисковика или энциклопедии познакомиться с ними и с их свойствами.
Но если внимательно приглядеться к окружающему нас миру, то можно обнаружить, что чаще всего нам встречается не так уж и много правильных математических кривых. Это понятно, мир не на компьютере нарисован и в нём многое криво. Однако, есть кривые, которым удаётся сохранить свою идеальную форму и в нашем далёком от идеальности мире.
Оглянитесь вокруг. На столик в кафе или на рабочий стол, за окно, на улицы города или посёлка. Вы точно сможете увидеть прямые линии (инженеры, строители и дизайнеры любят прямые линии и углы). Вам обязательно попадутся точные эллипсы (чашки, тарелки) получившиеся из окружностей, кое-где покажутся параболы (висящие провода*, струи фонтанов) и даже гиперболы (блики на стёклах, границы освещённых областей на стенах). В этих кривых я уверен. Все же остальные, даже самые замечательные, вы сможете увидеть только приложив специальные усилия. И дело тут не в неидеальности расчётов, бумаги или монитора компьютера. Дело в неизбежных для нашего зрения перспективных искажениях.
* Висящие провода и новогодние гирлянды точными параболами не являются, они представляют собой цепную линию (график гиперболического косинуса). Но эти две кривые практически неотличимы на глаз.
Наверное, кто-то из друзей Енота вспомнит, что перечисленные мной прямые, эллипсы, параболы и гиперболы все относятся к кривым второго порядка или коническим сечениям. А самое главное свойство, делающее их устойчивыми, это то, что они остаются сами собой при любых перспективных искажениях.
Перспектива нелинейно меняет углы и расстояния, искажает прямоугольники, превращая их в произвольные четырёхугольники и любые другие фигуры. И только фигуры второго порядка всегда остаются фигурами второго порядка и более того, сохраняют свою топологию: остаются замкнутыми (эллипсы) либо состоящими из одной ветви (параболы) или из двух (гиперболы).
То есть, при взгляде на любую из этих фигур, "искоса, низко голову наклоня", мы увидим их искажёнными, сплющенными, но при этом прямая линия останется прямой, парабола скорее всего, останется параболой, эллипс — эллипсом, а гипербола — гиперболой. Фраза "скорее всего" здесь появилась оттого, что на параболу можно взглянуть так, что она может превратиться в эллипс, но для этого в реальной жизни нужно очень-очень постараться.
Перспективные искажения это частный случай проективных преобразований, самых общих геометрических преобразований, оставляющих прямые линии прямыми. С точки зрения проективной геометрии, кривые второго порядка и вовсе неразличимы: можно проективным преобразованием превратить любую из них в любую другую.
Кроме фигур второго порядка никакие другие замечательные кривые не выдержат испытания перспективными искажениями и потеряют свои особые свойства. А поскольку мы живём в трёхмерном мире, и видим его проекцию на сетчатку глаз, то шансы увидеть точный круг, квадрат, фибоначчиеву спираль или циклоиду, очень малы.
Впрочем, идеальным фигурам есть место и в нашем мире. Если вы посмотрите на ёлочный шар или на мяч, то его видимая граница будет идеальной окружностью, лишённой каких бы то ни было перспективных искажений.
