Дугинов Л. А., L.Duginov@mail.ru
Ключевые слова: гидравлический расчет, итерационная формула, линейное сопротивление, степенное сопротивление трения, программа Mathcad.
Введение
На рис.1 показана схема соединения трубопроводов ( которую предстоит рассчитать) и её схема замещения. Схема замещения названа сложной потому, что её невозможно упростить путём преобразований в один контур. Кроме того трубопровод состоит из длинных тонких труб, поэтому все местные сопротивления, составляющие 1-2 % от общего сопротивления каждой ветви, для наглядности и простоты не учитываются, т.е. остаются только сопротивления трения. Зато сопротивления трения рассчитываются по полной программе, с учётом зависимости всех сопротивлений трения от местных расходов воды. В данной статье предлагается простая методика для расчёта гидравлических схем произвольной сложности. Следует заметить, что термин «простая» не означает «упрощённая», она позволяет учитывать все основные факторы, влияющие на величину сопротивлений и напорных элементов схемы. В этом плане данная методика расчёта трубопроводов не уступает сложным современным и дорогим программам, но остаётся доступной для работы с ней широкому кругу пользователей, начиная от школьников старших классов, студентов, практиков и молодых инженеров. Предлагаемая методика расчёта впервые была опубликована ещё в 1975 году в журнале «Электротехника» №12 (л.1). Последние публикации её были в 1991 г. (л.2) и в 2020 г. (л.3). Она начала применяться для расчёта сложных систем вентиляции мощных турбо и гидрогенераторов с 1972 года в ЦКБ Минэнерго СССР, а начиная с 1986 года в НИИ машиностроительных заводов «Электросила» в Ленинграде и соответственно в Новосибирске.
Вывод итерационной формулы для гидравлических расчётов
по методике 1975 года .
Как известно, для расчёта гидравлических схем произвольной сложности необходимо составить систему нелинейных алгебраических уравнений, для решения которых не существует общего стандартного метода. Поэтому, усилиями математиков и инженеров были разработаны многочисленные методы линеаризации этой системы уравнений. К сожалению, почти все они имели разные ограничения. Например, одни годились только для «плоских» схем, другие имели ограничения в количестве уравнений, третьи не допускали включение в схему регуляторов расходов или давления. Очень многие из них требовали, чтобы расходы среды в ветвях схемы (для начального приближения) были как можно ближе к реальным значениям, а правильные направления потоков во всех ветвях должно быть задано предварительно. Предлагаемая методика 1975 года (как показала практика расчётов) оказалась очень удачной и не имеет всех указанных выше ограничений.
Перевод системы нелинейных в систему линейных уравнений выполняется только после составления системы из двух уравнений, в которых заложены требования не только математики, но и физики, на которую мало кто в то время обращал внимание.
Итак, итерационная формула выводится из системы 2-х уравнений:
где: AL – линейное сопротивление участка схемы. Очень важное понятие в этом методе. До сих пор среди пользователей данного метода идут споры: имеет ли физический смысл понятие «линейного сопротивления» или это просто коэффициент в уравнении (1), а сам метод может быть отнесён к известным «методам хорд». Я лично уверен, что линейное сопротивление AL имеет прежде всего физический смысл и поэтому является основой «метода хорд» в математике, в результате эта методика получилась такой универсальной и надёжной.
Линейное сопротивление AL определяется из системы уравнений, составленной из формул (1) и (2). После несложных подстановок расхода Q из (2) в (1), получаем выражение для расчёта линейного сопротивления AL, которое используется в качестве итерационной формулы для всего процесса расчёта:
где: L- длина трубопровода, Ro- плотность среды, Dtrb- диаметр трубопровода, Kst и nst - коэффициенты зависящие от режима течения среды и типа внутренней поверхности трубопровода.
Выводы формул для коэффициентов nst и Kst и степенного сопротивления Ast приведены ниже.
Вывод формул для расчёта коэффициентов nst и Kst
Расчёт коэффициента трения λtr выполним по формуле Филоненко:
Вычислим по формуле (5) для двух значений числа Re: Re1=5000 и Re2=50000 два значения коэффициента трения: λtr1=0,03973 и λtr2=0,02151.
Далее, запишем формулы коэффициентов трения λtr1 и λtr2 в степенном виде:
По формулам (6) составим 2 уравнения: Kst= λtr1·Re1nst (7) Kst= λtr2·Re2nst откуда: λtr2·Re2nst = λtr1·Re1nst или: (Re2/ Re1)nst= λtr1/ λtr2 (8)
после логарифмирования (8) получим: nst·Log (Re2/ Re1) = Log (λtr1/ λtr2)
откуда:
В результате по формуле (6) определим коэффициент трения λtr в степенном виде (для случаев определения коэффициента трения по формуле Филоненко):
На рис. 2 представлены зависимости коэффициента трения λtr от числа Рейнольдса, построенных по формуле Филоненко (5) (нижняя кривая) и по формуле (6) ( верхняя кривая) после перевода коэффициента трения по формуле Филоненко в степенной вид. Максимальная погрешность степенной формулы (6) относительно (5) не превышает 1.5-2 %.
Рис.2
Вывод формулы для расчёта степенного сопротивления Ast (для круглых каналов)
Сопротивление Ast было получено путём преобразования обычного «квадратичного» сопротивления в «степенное». Как известно сопротивление трения равно:
где: λtr- коэффициент трения определялся по формуле Филоненко (5). Заменим формулу (5) на (6) и подставим это выражение в (12), тогда получаем:
Здесь Dg=Dtrb (для круглых каналов)
Сделаем в (13) ещё 2 замены:
После подстановки Re и Ftrb из (14) в формулу (13) в результате соответствующих преобразований получим формулу сопротивления трения в которой коэффициент трения неявно присутствует через расход Q, диаметр канала Dtrb и коэффициент nst при критерии Re .
Коэффициенты Kst и nst в зависимости типов внутренней поверхности трубопровода (при турбулентном режиме) приведены в таблице 1.
Для формулы (20) в случае, когда коэффициент трения λtr рассчитывался по формуле (5) Филоненко, степенное сопротивление Ast равно:
так как:
При этом линейное сопротивление AL рассчитывается согласно методики 1975 года по формуле (3), где no=2-nst или no=1.73375.
Падение напора на степенном сопротивлении Ast по формуле:
Как видно из формулы (23) степенное сопротивление Ast остаётся постоянным по величине на весь процесс итерационного расчёта ( при изотермическом режиме), так как оно не зависит от расхода среды Q. Это заметно сокращает количество итераций и объём программирования.
Расчёт на Mathcade гидравлической схемы
Полный расчёт на Mathcade гидравлической схемы, представленной на рис.1, выполнен по методике 1975 года для двух вариантов: 1- только со степенными сопротивлениями трениями Ast (см. (21)), 2- только с сопротивлениями трениями Atr по формуле Филоненко (см. (5)) Результаты расчёта сведены в табл.1 и 2. В приложении, ниже приведена распечатка исходных данных и программы расчёта на Mathcade. Расчёт выполнен только по варианту 1 , но с необходимыми комментариями. .
Выводы
1. В качестве начального приближения итерационная формула для гидравлических расчётов по методике 1975 года позволяет величину начального расхода выбрать произвольно для любого нелинейного сопротивления гидравлической цепи.
2. Величину начального расхода допускается выбрать одинаковой для всех (без исключения) нелинейных сопротивлений гидравлической цепи.
3. Как показывает опыт расчётов сложных гидравлических цепей, надёжный и быстрый итерационный процесс обеспечивается, если сопротивление трения в программах рассчитываются как для степенных сопротивлений Ast по формуле (21) взамен (12), что позволяет уменьшить число итераций на 30-40 % и заметно уменьшить объём программирования..
4. Программы, выполненные на базе простого математического аппарата методики 1975 года, не уступают сложным современным и дорогим программам расчёта трубопроводов и становятся доступными для работы с ней широкому кругу пользователей, начиная от школьников старших классов, студентов, практиков и молодых инженеров.
ЛИТЕРАТУРА
- Аврух В.Ю., Дугинов Л.А., Карпушина И.Г., Шифрин В.Л. «Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов» - «Электротехника», 1975, №12.
- Аврух В.Ю., Дугинов Л.А. Теплогидравлические процессы в турбо и гидрогенераторах -М.: «Энергоатомиздат»,1991, стр. 50-55
- Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
- Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972.
- Филиппов И.Ф. Теплообмен в электрических машинах, М., «Энергоатомиздат», 1986, стр. 204
- Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва, «Машиностроение» 1992.
Приложение
Полный расчёт на Mathcade гидравлической схемы, представленной на рис.1, выполнен по методике 1975 года для двух вариантов: 1- только со степенными сопротивлениями трениями Ast (см. (21)), 2- только с сопротивлениями трениями Atr по формуле Филоненко (см. (5)),
Распечатка программы гидравлического расчёта схемы трубопровода по рис.1 на Mathcade. (Вариант 1 - только со степенными сопротивлениями трения Ast1-Ast8).
Организация по методу контурных потоков матриц Msx и Vsx, расчёт величины контурных потоков Q1-Q4 и местных расходов через линейные сопротивления AL1-AL8 схемы замещения рис.1.
Расчёт падения напоров DH1-DH8 на линейных сопротивлениях AL1-AL8, пересчёт величины линейных сопротивлений AL1-AL3, расчёт скорости воды V1-V3 на этих участках схемы
Пересчёт величины линейных сопротивлений AL4-AL8, расчёт скорости воды V4-V8 на этих участках схемы.
Распечатка по итерациям № 1-13
величины расхода q1 через участок
cхемы с линейным сопротивлением AL1.