Крест Эйнштейна — первый обнаруженный случай сильного линзирования с несколькими изображениями светящегося объекта. Давайте разберемся, почему изображений несколько и почему в иных случаях получается кольцо, и почему именно изображение и кольцо, и не просто размытое пятно: ведь лучи, казалось бы, должны по всем направлениям проходить.
Очень многое можно понять, просто хорошо поставив задачу. Возьмем точечный источник, выпускающий лучи во всех направлениях. На большом расстоянии от него поместим "линзу": массивное тело, которое искривляет эти лучи. На большом расстоянии от линзы поместимся мы.
Перпендикулярно линии между нами и источником поместим плоскость, на расстоянии 1 (световой год, например) от источника. Лучи протыкают это плоскость, задавая на ней некоторый вектор v. Векторы такие определяют направление луча.
Вторую плоскость, параллельную первой, проведем через наше положение. Приходящие к нам лучи протыкают эту плоскость, определяя на ней вектор v'. Задача линзирования состоит в определении зависимости v'(v). Это векторное поле.
Причём нас интересуют нули этого векторного поля, так как мы видим только лучи, проходящие через нас. То есть нас интересуют нули векторного поля v'(v).
Мы можем определить направление, с которого пришел луч, и это определяет на небесной сфере "изображение" источника.
На рисунке выше точки "излома" луча — это и есть изображения. Конечно, луч изгибается плавно, но важно направление "почти прямой" его части.
Уже из этой постановки можно извлечь полезную информацию. У векторного поля есть производная, это матрица J (матрица Якоби, состоящая из производных каждой компоненты v' по каждой компоненте v). И поле вблизи своего нуля v₀ (например) может быть приблизительно представлено линейной формулой v'≈J(v-v₀). Если матрица невырождена, то есть ее определитель (якобиан) не равен нулю, то решение системы уравнений Jv=0 единственно, и это то самое v₀. Иными словами, поблизости от нуля других нулей нет. Это означает, что изображение точечного источника является именно изображением, то есть точкой.
Теперь вспоминаем, что равенство определителя нулю — это вообще-то довольно тонко. Наугад выбранная матрица окажется невырожденной, а случайные изменения элементов вырожденной матрицы, скорее всего, сделают ее невырожденной. То есть типичная ситуация — это как раз отдельные изолированные изображения, а кольца и бананоподобные искажения — это скорее исключения.
Хотя именно они типичны в астрономии. Причины сейчас обсудим, но сделаем вывод: отдельные изображения являются нормальной с точки зрения математики ситуацией.
К вырожденности матрицы Якоби приводит симметрия. Именно симметричные линзы и порождают кольца и фрагменты колец. Однако массивные объекты часто именно симметричны: шары, диски, эллипсоиды — и потому такие ситуации в астрономии распространены.
Но асимметричный объект, скорее всего, породит несколько изображений, возможно, что даже почти неискаженных.
Идем дальше. Поле v'(v) асимптотически линейно: для больших v имеем v'=v (после подходящего выбора единицы измерения вектора v'). Это означает, что лучи, проходящие далеко от линзы, практически не изменяют направления. Векторы, которые неискривленный луч высекает на двух параллельных плоскостях, пропорциональны друг другу, и выбором разных единиц измерения длины можно сделать их численно равными.
Вспоминаем теорию вращения векторного поля. Обойдя по замкнутому контуру на плоскости v (то есть, перебирая векторы, концы которых образуют контур) будем следить, сколько оборотов сделает соответствующий вектор v'(v). Это и есть вращение. Нетрудно проверить, что если внутри контура нет нуля векторного поля, то это вращение равно нулю. Внутри — это, допустим, слева от контура. Можно ограничиться маленькими контурами, так как большой можно сложить из многих малых, а в пределах маленького контура векторное поле можно считать почти постоянным.
Кратные нули можно из рассмотрения исключить, это тонкое совпадение, и тогда получается, что вращение либо равно нулю, если внутри контура нет нуля, либо равно ±1, если нуль внутри есть и один. Если нулей внутри больше, вращение сводится к сумме. Для маленьких контуров вариантов только три: -1, 0, 1. Если внутри контура есть только один нуль, то это "индекс" нуля. Он равен 1 или -1. Так что если внутри контура много нулей, то вращение равно сумме индексов этих нулей.
Можно проверить, что если контур есть сумма контуров, то есть сначала проходим один, а потом другой, то вращение есть сумма вращений. Можно окружить каждый нуль контуром, провести один очень большой контур, и рассмотреть их сумму. Поскольку мы все нули огородили "забором", то в области внутри этого сложного контура нет нулей и вращение по этому контуру равно нулю. Вращение по большому контуру равно вращению поля v'=v, то есть единице. Маленькие контуры мы обходим в противоположную сторону, чтобы то, что "вне", было "слева", и относилось к внутренности составного контура. Поэтому сумма индексов всех нулей равна 1.
А раз каждый индекс равен либо 1, либо -1, то их непременно нечетное число. Это означает, что изображений, если они отдельные, должно быть непременно нечетное количество. И хотя бы один нуль должен быть в наличии! И "плюс-единиц" всегда на одну больше, чем "минус-единиц".
Это называется "парадокс нечетного количества". Ведь у Креста Эйнштейна в других случаях мы видим четное число изображений. Но на самом деле, там есть пятое, по центру. Оно сильно искажено или его может быть не видно вообще, если линза непрозрачна.
Ещё мы сразу узнаем, что изображения могут быть двух типов, с индексом 1 и с индексом -1. При этом, если они вдруг совпадут, то "сократятся" и изображения не будет вовсе. А изображения с индексом -1 перевернуты; так что у Креста Эйнштейна четыре изображения — непременно два перевернутых и два неперевернутых.
Теперь попробуем это осмыслить на бытовых аналогиях. Пусть дана труба в виде цилиндра и мишень по центру того сечения, которой есть дальний от нас край. Нам надо стрелять из центра своего края, но мы можем направлять ствол в разных направлениях, и надо отрикошетить от стенки в центр мишени.
Понятно, что в случае цилиндрической трубы есть угол, на который надо отклонить ствол (в любом направлении), чтобы попасть в мишень. При этом пули на трубе оставят след ... в виде кольца. Для человека близ мишени это будет выглядеть так, как будто с этого кольца в мишень прилетают пули.
Вот вам и кольцо. Никак иначе в центр мишени не попасть, разве что прямой наводкой.
Если же труба имеет в сечении что-то вроде овала, или еще менее симметричною фигуру, то попасть в мишень становится сложнее. Важно, что рикошет допустим только один. Есть считанные места, в которые можно целиться. Любое отклонение приводит к тому, что пуля смещается не только в той плоскости, в которой мы, центр мишени и точка рикошета, а и в перпендикулярном тоже, а это сразу промах.
Если мы в мишень попадаем, то зритель у мишени увидит отдельные точки на трубе, выпускающие в мишень пули. Это и есть изображения.
Есть важное отличие гравитационной линзы от обычной. Обычная "чечевица" слабо искажает лучи, идущие близ геометрического центра, и сильнее те, что проходят дальше от центра. Гравитационная линза действует наоборот. Лучи, идущие близ центра, искажаются сильнее всего.
В итоге, пусть мы смотрим "сверху"; луч, идущие правее линзы близко к ней, искривляется сильно и проходит левее приемника. Отдаляя луч дальше вправо, мы уменьшаем промах. В конце концов найдется угол, при котором луч увидят. Дальнейшее уклонение вправо приведет к промаху уже вправо. Этот угол и есть "изображение". Если есть вращательная симметрия, изображение превратится в кольцо. Если есть частичная симметрия, будет дуга, банан.
Если симметрия только осевая, будет два изображения, слева и справа. И так далее. Дальнейший анализ сложнее, но, как уже отмечено, в несимметричном случае конечное число изолированных изображений — это норма.