Предыдущий отсчет: 15, 16, 17, 18, ...
Почему в этот раз не 14, а 14 с половиной? Потому что это продолжение истории про число 15 и замощения плоскости. В журнале Quanta как раз вышла статья о продвижении в геометрии замощений, а это приквел к ней.
Как мы помним, все известные замощения пятиугольниками периодические. Но вообще замощения плоскости периодическими быть не обязаны. И правда, возьмем привычное замощение из тетради в клеточку и сдвинем несколько рядов. Сдвинем некоторые ряды по-разному, и уже не сможем получить такое замощение периодическим сдвигом квадратика:
То есть копиями одного квадрата можно замостить плоскость и периодически, и апериодически. (Апериодически — то же, что и непериодически.) Бывают ли такие плитки, которыми плоскость заместить апериодически можно, а периодически — нельзя?
Первым такое замощение придумал Роберт Бергер в 1966 году. Но в его замощении участвовал не один вид плиток, а целых 20 426. И как это бывает в математике, быстро началась погоня за рекордом: кто придумает замощение с наименьшим числом плиток. Рекордсменами были Дональд Кнут, Рафаэль Робинсон и наконец Роджер Пенроуз. (В 2020 году он получил Нобелевскую премию по физике, но не за плитки, а за теорию черных дыр.) Пенроуз создал апериодическое замощение из всего двух видов плиток:
Существует ли такая плитка, копиями которой апериодически плоскость замостить можно, а периодически — нельзя? Такая плитка уже получила название: Ein stein — один камень. А вопрос о том, существует ли она, называют задачей Эйнштейна.
Это все была присказка, а вот о чем сама сказка из Quanta.
Если для замощения плоскости разрешить только сдвигать плитку, но не поворачивать и не переворачивать, то нет, Ein stein не существует. Это доказал в 2016 году Сиддхартха Бхаттачарья: если использовать только сдвиги, то невозможно создать плитку, которая может покрывать всю плоскость апериодически, но не периодически.
Но в пространствах высших размерностей всё не так! Рэйчел Гринфельд вместе с Теренсом Тао создали плитку, которая может заполнять пространство высокой размерности апериодически, но не может делать это периодически. Ein stein существует, но он не плоский, а многомерный!