В этой статье я предлагаю новый способ математического описания пространства. Не уверен, что до меня подобных идей никто не выдвигал, но, возможно, так оно есть, и моя идея может оказаться действительно новой и оригинальной, несмотря на свою простоту.
Мы все привыкли пользоваться декартовой системой координат, в которой координаты любой точки пространства определяются тремя независимыми числовыми значениями: (x; y; z). Эта тройка и есть координата материальной точки в пространстве. Эти значения соответствуют длинам проекций отрезка, соединяющего начальную точку О с данной материальной точкой. Удивительно, но такое простое решение для однозначного описания пространственного положения было сформулировано Рене Декартом совсем недавно, в XVII веке, хотя основные постулаты и теоремы геометрии были известны еще со времен Евклида, Архимеда и Пифагора. Удивительно, как долго очевидные вещи находят своё место в сознании людей! Ведь сегодня никто уже не представляет, как можно по-другому описывать геометрические законы. Да, сегодня мы уже знаем об искривлённых и комплексных пространствах, в которых не действуют правила евклидовой геометрии, где параллельные прямые пересекаются, а сумма квадратов катетов не равна квадрату гипотенузы. Но это не затрагивает самого принципа описания пространства при помощи координатных осей и проекций на них. Это кажется настолько естественным и однозначным, что, казалось бы, разве можно еще как-то описывать пространственное положение кроме как при помощи координат?
Но, потратив довольно много времени на размышления о дискретных (квантовых) пространствах, я пришел к неожиданному выводу, что, в отличие от непрерывных пространств, квантовые координаты можно описывать при помощи одного единственного числа, независимо от количества измерений. И, более того, такое описание дает, помимо информации о текущем положении материальной точки, также и информацию о пути, по которому она двигалась и даже, возможно, приближает к пониманию того, что такое время.
Этим удивительным открытием я и хочу поделиться с вами. Идея очень проста.
Кстати, тема дискретных пространств весьма актуальна как для теории гравитации, так и для вычислительной математики применительно к работе с многомерными массивами данных.
Рассмотрим для простоты двухмерный случай квантового пространства. Квантовое - значит разделенное на ячейки (кванты). В непрерывном пространстве никаких ячеек нет. Предполагается, что мы можем дробить непрерывное пространство на сколь угодно мелкие части, добиваясь нужной точности для определения положения данной точки в пространстве. В квантовом пространстве дело обстоит иначе: предполагается, что оно состоит из мелких, но вполне конкретных ячеек, которые нельзя разделить на более мелкие. Я представляю квантовое пространство в виде маленьких комнаток, соединенных дверцами, а путь частицы по ячейкам можно описать последовательностью прохождения ячеек (от O до G):
Я заранее считаю неизвестной "планировку" "комнат" нашего пространства, поэтому на первом рисунке нарисовал ячейки моего пространства случайным образом, повинуясь творческому порыву сумасшедшего архитектора:). Если реальное пространство, в котором мы живем, дискретно, то архитектором является сама Природа, и её архитектурный замысел нам неведом. Но для простоты я буду рассматривать "правильную" планировку с одинаковыми "комнатами". В плоской "квантово-декартовой" системе все "комнатки" - это одинаковые квадраты. Это сильно упрощает задачу, но принципиально "прямолинейная квадратная планировка" не отличается от "кривой планировки".
Кстати, плоскость можно заполнить не только одинаковыми квадратами, но и треугольниками и шестиугольниками (сотами).
Предположим, всё-таки, что наше плоское пространство разбито на квадратные ячейки (Рис. 2).
В этом случае каждая ячейка-комнатка имеет по 4 двери, одна из которых является входной, то есть той, через которую частица попала в данную ячейку. Ориентируясь на входную дверь, можно сказать, что следующий переход в соседнюю ячейку может быть вперед, назад, влево или вправо. (Есть еще пятый вариант - остаться в ячейке при следующем шаге, но я его пока не рассматриваю). Каждый из вариантов можно пронумеровать числами от 1 до 4. Например, 1 - это пройти прямо, 2 - назад, 3 - влево, 4 - вправо. Так что, каждый свой шаг по лабиринту комнат частица может записать в свой блокнот с помощью одной их этих цифр и всегда знать своё положение в лабиринте и помнить весь свой путь. Есть, правда, вопрос с начальной ячейкой: как определить право-лево -вперед-назад в ней? Пока не будем задаваться этим философским вопросом, а просто условно припишем первому шагу значение "вперед", то есть 1.
На рисунке представлен путь от O к G через ячейки A, B, C, D, E, F, что также можно записать как " прямо, потом налево, снова налево, затем прямо, налево, прямо, и, наконец, налево. Если использовать цифры для обозначения направления переходов, то получится: 1331313.
До точки G можно добраться и другими путями, например, кратчайший будет описан числом 4 (один шаг в правую дверь). В ту же ячейку мы попадем, выбрав путь 144.
То есть в нашей системе координат ячейка G определяется одним из чисел, хотя в этой системе придется признать, что
13331313=4=144. Не очень привычная арифметика получается, тем не менее она имеет право на жизнь, поскольку все эти числа однозначно связаны с ячейкой G. На первый взгляд такая система не удобна и запутанна.
Но это только на первый взгляд. На самом деле разные числа одинаково отображают ячейку G, но связаны с разными путями, то есть содержат информацию не только о текущем состоянии, но и о прошлом частицы.
Таким образом мы можем записать информацию о двухмерном массиве не только в его текущем состоянии, но и в развитии, используя для каждой ячейки всего лишь одно число, а не два.
Ничто не мешает распространить нам эту методику на пространство любой размерности. Например, для трехмерного случая просто добавляется количество дверей - их становится 6 (к четырем горизонтальным переходам добавляется верх и низ).
Вообще, мы не задаемся вопросом, как обрабатывает данные компьютер. Он иногда решает задачи, выполняя безумное количество действий, когда человеку достаточно одного логического перехода. К одному и тому же результату можно прийти различными путями и за разное количество переходов. И далеко не всегда кратчайший путь является оптимальным...
Заключение.
Есть некоторые соображения, что описание многомерных массивов при помощи линейных последовательностей может оказаться очень эффективным при решении некоторых задач а также при шифровании данных. Разработка теоретических основ такой системы исчисления также весьма интересная и, насколько мне известно, совершенно неразведанная тема в математике. Я предполагаю также, что есть тесная связь этой темы с теорией хаоса, квантовой механикой и теорией гравитации.
