Теория меры "пришлась впору" для вероятности, но появилась она раньше. Давайте посмотрим на абстрактную меру без "вероятностных очков". Про "обычную" меру, которая в простых случаях просто площадь или объем, будет отдельный материал. Пока считаем, что "обычная" мера у нас уже есть и мы работаем только с теми множествами, для которых она определена: с измеримыми. Всё, что конструктивно определяется, измеримо, так что проблем здесь не будет.
Пример неизмеримого множества очень прост. Возьмем окружность и классифицируем точки так: отнесем две точки к одному классу, если они совмещаются поворотом на рациональный угол (угол исчисляем в полных оборотах, то есть допустимы две трети оборота или семь двенадцатых, но не пи оборотов и не корень из двух). Получится много классов, которые не пересекаются и в объединении дают всю окружность. Выберем в каждом классе по одной точке: они сформируют искомое неизмеримое множество. Вот тут мы и применили аксиому выбора, хотя казалось бы, что такого сложного выбрать по точке из непустых множеств? Это множество, будучи повернуто на всевозможные рациональные углы, даст всю окружность, ведь его точки совпадут со всеми точками своих классов. При этом мера (длина) при повороте не меняется. Рациональных чисел счетное множество. Так что если мера нашего множества равна нулю, то счетное объединение множеств нулевой меры имеет нулевую меру. А если мера больше нуля, то бесконечная сумма одинаковых ненулевых слагаемых бесконечна. И так, и так противоречие. Значит, меры вообще нет.
Представим себе сплошную среду. Жидкость или газ. В ней можно выделять произвольные объемы и у этих объемов могут быть числовые характеристики. Масса, например. Заряд (но без знака: либо тот, либо другой). Теплота. Процентное содержание кислорода. Число клеток фитопланктона. И так далее, всё это может быть описано действительным числом.
Вот это и есть абстрактная мера. Неотрицательная характеристика, присущая произвольному измеримому подмножеству.
Как я уже рассказывал, есть общая теорема: любая мера представима в виде суммы атомарной меры, абсолютно непрерывной и сингулярной. Давайте познакомимся с ними поближе.
Что такое "плотность"? Плотность меры (например, массы) в точке — это предел отношения меры (массы) объема, содержащего точку, к "обычной" мере этого объема (обычному объему), когда объем этот стремится к нулю. И обычные оговорки, что предел должен быть один и тот же, независимо от того, как мы к нему "стремимся".
Простыми словами: для маленьких шариков, содержащих данную точку, их масса приблизительно равна некоторому числу (плотности в точке), умноженному на объем шарика. Чем шарик меньше, тем равенство точнее.
Если плотность задана, то мера легко получается интегрированием. Мера множества есть интеграл от плотности по нему.
Всегда бы так. Но это лишь один класс мер: абсолютно непрерывные.
Если есть плотность, то лучше иметь дело с ней: это функция, приписывающая точкам (пусть даже не всем, множество меры нуль можно пропустить) какое-то неотрицательное число. А мера — это функция на множествах, что вообще-то не слишком комфортно.
Другая крайность: атомарные меры. Или ещё дискретные. Это мера, сосредоточенная на отдельных точках. В теории сплошных сред это редкость, но вообще в физике это обычное дело: ведь это материальные точки. Масса любого объема равна сумме масс материальных точек, которые в этот объем попали.
Плотности в обычном смысле нет, разве что через дельта-функции.
Но есть ещё сингулярные меры, которые не относятся ни к тем, ни к другим. Сингулярная мера сосредоточена на множестве "обычной" меры нуль, но не на отдельных точках. Вот представьте себе бесконечно тонкую оболочку: массивную сферу. Толщина у нее нуль, но масса есть. Вот это и будет сингулярная мера.
Массивных точек — нет. Плотности тоже нет. А масса есть. У любого объема есть масса, если он захватывает часть этой сферы или ее целиком.
Есть и более извращенные примеры, например, Лестница Кантора. Функция растет, но при этом производная у нее почти всюду нуль. Но разность значений Лестницы на краях отрезка задает меру этого отрезка. Мера точек нуль, плотноти нет (плотностью может быть только производная, но интеграл от нее равен нулю, а не исходной функции), а мера есть.
Давайте рассмотрим аналогию, которую я уже приводил. Пусть есть страна, в которой живут люди. Мы можем выделять произвольные области на карте страны и интересоваться различными их числовыми характеристиками. Это различные меры, заданные на областях. Обычной мерой будет площадь, и сложно придумать "неизмеримую область", то есть область, у которой нет площади, ни нулевой, ни ненулевой. Хотя математически они строятся.
Но есть и другие меры, например, численность населения. Каждой (измеримой) области таковая присуща, но вот понятие плотности населения намекает, что мера эта абсолютно непрерывна.
С некоторой натяжкой можно представить себе и атомарную меру: если всё население живет в одном доме, скажем. Площадь, в масштабах страны, практически ноль, а всё население сосредоточено там. Или не всё, а значительная доля. Вот и получается, что население области равно населению таких домов, попавших в эту область. Такова мера населенности галактических секторов: население сектора равно населению обитамых планет в секторе, а объем планеты равен нулю по сравнению с масштабами галактики.
Можно представить себе и сингулярную меру, тоже с натяжкой. Практически вся площадь страны не заселена, при этом отдельных точек, несущих на себе всё население, тоже нет. Население, достаточно заметное, распределено по какому-то множеству нулевой меры (площади). Например, они живут вдоль берега.
Ещё нагляднее распределение денег. Это тоже мера областей: сколько в них денег. Абсолютно непрерывная мера имеет плотность: среднее богатство на квадратный километр. Вроде у каждого человека в масштабах страны ничего нет, но на квадратном километре живет довольно много людей и что-то будет. Просуммируй по всей области, и будет заметно.
Атомарная мера — это олигархия. Все деньги у отдельных людей.
Сингулярная мера — это когда плотности нет (практически на всей территории страны ни у кого нет заметных богатств), олигархов-атомов тоже нет, но в целом в стране деньги есть. Они сосредоточены в городах, площадь которых по сравнению с площадью страны ничтожна, но население велико, так что ни у кого в отдельности нет заметных богатств. Оно сосредоточено на множестве нулевой (почти) площади, но не на отдельных точках.
Разумеется, мера может быть суммой всех трех.
Разумеется, сказанное является ишь иллюстрацией концепции меры и к реальным государствам никакого отношения не имеет.