Некоторое время тому назад тут, в журнале, была опубликована в рубрике «Вопросы не из задачника» задача о назначении экспертизы по делу под названием «Нужны ли эксперты?». Повторять условие этой задачи нет никакой необходимости, так как прочесть текст можно там, где он опубликован. А вот попытаться её решить, а коли не решить, так хотя бы сделать какие-то шаги в направлении решения, думается, всё же следует, поскольку достаточно посмотреть комментарии к этому материалу, чтобы понять, что всё выглядит не совсем так, как иногда кажется с первого взгляда.
Давайте обратим своё внимание на то, в чём, собственно, состоит проблема. Задача поставлена таким образом, что в деле имеется зависимость разрешения существа спора от суммы геометрической прогрессии (да, полная сумма сложных процентов — полная, а не за какой-либо отдельный период! — как раз составляет геометрическую прогрессию), — именно она приведена там! Сумма геометрической прогрессии есть сумма не конечного числа слагаемых, а именно бесконечного их числа. Одна из сторон привела, в общем-то довольно простое рассуждение, как казалось этой стороне не выходящее за пределы знаний, получаемых в средней школе, чтобы счесть такую сумму. И действительно, если просматривать рассуждение этой стороны, то на первый взгляд, и именно на взгляд человека, имеющего образование по математике в объёме средней школы, там нет вообще ничего такого, что выходило бы рамки знаний и навыков, которые обязан иметь любой судья в силу своего образования. Получалось так, что никакого эксперта не надо.
Однако же я предупреждаю: всё вовсе не такое, каким кажется.
Первое, что на самом деле весьма сложно вообще в понимании, это вовсе не чтение самой формулы, как может показаться, а понятие бесконечности, обозначаемое значком «∞». Дело в том, что этот знак обозначает не просто очень большое число. Этот знак вообще обозначает не число как таковое. Нет такого числа ∞ ни среди натуральных, ни среди рациональных, ни среди действительных или комплексных чисел, кватернионов, ни среди каких-либо чисел вообще. Вообще с определением, что это такое: ∞, сложностей очень много. Достаточно сказать, что всякого рода выражения типа ∞ — ∞ не имеют никакого однозначного смысла. Достаточно добавить, что вопрос о том, что есть бесконечность вообще — нелёгкое испытание для математиков. Для нас в данном случае можно ограничиться тем, что знак ∞ обозначает некоторый процесс (процесс, а не его результат!), в данном случае — процесс неограниченного ничем пробегания значения связанного в формуле параметра n от значения, которое находится под значком ∑; причём, поскольку не оговорено иное, пробегает он значения по множеству натуральных чисел.
(Оговорюсь сразу: аксиоматику натуральных чисел тоже в школе никто не изучает, а оперируют с ними чисто интуитивно. Между тем, таких аксиоматик существует как раз очень много, а вовсе не одна. Кстати, именно уже на натуральных числах видно, что бесконечность есть какая-то штука странная, которая вообще «равна» сама своей половинке, например, поскольку «количество» чётных чисел равно «количеству» суммы чётных чисел и нечётных чисел, а последних столько же, сколько и чётных. Мало того, несмотря на то, что всякое простое число есть число натуральное, но не всякое натуральное — простое, тем не менее, простых чисел ровно «столько же», сколько и натуральных. А всё дело именно в бесконечности!)
Второй вопрос, на который наткнётся исследователь, будет состоять в довольно странной проблеме, со школьной колокольни даже никак не видимой. Со школы мы чётко знаем, что а + (b + c) = (a + b) + c. Да, это совершенно верно. Просто по определению: именно так определена та самая операция на натуральных числах, которая обозначена значком «+». Но это утверждение верно для любых конечных сумм. А тут — сумма именно бесконечная, некий нескончаемый процесс суммирования. И никто не сказал, что то же самое выполняется и для бесконечных сумм. Нигде такого не написано. Любые же попытки доказать, что всё, что верно для конечных операций, также верно и для бесконечной череды (чуть было не написал ересь: «бесконечного числа»! Вот до чего доводит привычка-то к «очевидности»…) таких же операций, уткнутся во всё те же самые удивительные свойства того самого нечисла, имя которому ∞.
(Давайте попробуем просто просуммировать, пользуясь «очевидной» аналогией конечной и бесконечной суммы простенькую бесконечную сумму: 1 — 1 + 1 — 1 + …
Можно это проделать так: (1 — 1) + (1 — 1) + … = 0 + 0 + … = 0
А можно и так: (1 + 1 + …) — 1 — 1 — … = ∞ — ∞.
Запомним эти два результата!
А вот при таком способе суммирования получится нечто вообще невообразимое:
сначала просуммируем три нечётных элемента из этого ряда и прибавим к ним первое чётное (всё равно и чётных и нечётных бесконечно много!) и тогда получаем:
(1 + 1 + 1 — 1) + (1 + 1 + 1 — 1) + … = 2 + 2 + 2 + … = ∞.
Во как! То есть получается. что 0 = ∞ — ∞ = ∞, то есть ∞ = 0, что есть полная уже бессмыслица.
А вот вам, дорогие читатели, ещё один впечатляюще «странный» пример:
между тем как разность этих рядов, взятая почленно, именно так, как это продемонстрировано в доводах представителя, приведённых в задаче,
где ln2 это натуральный логарифм 2 — число, конечно, не натуральное и не рациональное, но вполне-вполне конечное. То есть получается уже, что
∞ — ∞ = ln 2)
Вы можете спросить при чём тут ассоциативность (именно так называется записанное выше свойство операции «+»)?
А дело в том, что в приведённом в задаче доказательстве делается нечто, что прямо с ней связано. Там из одной бесконечной суммы вычитается другая бесконечная сумма, причём вычитается, подлюка такая, именно почленно: объединяются первые члены, затем вторые и так далее. А это как раз и есть использование свойства ассоциативности. А то, что его вообще можно использовать в бесконечных рядах — совсем не так, как кажется, очевидно. Кстати, как не очевидно, что и вообще нельзя его использовать.
Могу сказать, что великий Леонард Эйлер, как раз вычислял своё значение числа π, вовсю используя ассоциативность в бесконечной сумме. И вычислил правильно! Это означает, что в каких-то случаях (мы пока не знаем, — кстати, и Л. Эйлер ещё этого не знал! — в каких именно!) такого рода операции делать можно, а в каких-то — ни-ни!
Так вот, существует условие, в котором допускается такое «вольное» обхождение с бесконечными суммами. Это условие сформулировано в теореме. Но сначала появилась некая такая себе теорема — теорема Римана (нет, не пугайтесь, я доказательства её здесь приводить не буду. Интересующиеся найдут его сами, а тех, кто этого делать не хочет, прошу просто учесть, что такая теорема именно сформулирована и доказана и именно безвременно ушедшим в иной мир немецким математиком Георгом Фридрихом Бернхардом Риманом):
Определение:
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Теорема Римана:
Пусть ряд А есть условно сходящийся,
тогда для любого рационального числа S можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна S.
Вот это, как вы понимаете, да! Это получается, что перестановками слагаемых просто так баловаться нельзя, ибо можно вообще получить всё, что душе угодно, если только душе угодно получить нечто среди рациональных чисел.
Однако, если ряд, составленный из абсолютных величин исходного ряда сходится, то есть эта самая бесконечная сумма, тем не менее, имеет конечное, числовое значение, то исходный ряд называют абсолютно сходящимся. Так вот, с абсолютно сходящимся рядом вести себя так вот, как продемонстрировал один из оппонентов задачи, а заодно уж и Л. Эйлер при попытке вычислить число π, как раз вполне можно. Только для начала надо убедиться, что ряд, с которым вы тут взялись оперировать — именно абсолютно сходящийся. Леонарду Эйлеру, который жил лет за сто до формулирования и доказательства теоремы Римана, крепко повезло и он работал именно с абсолютно сходящимся рядом, но может и не повезти, тогда напоремся на бесконечный спор ни о чём. Так что прежде всего должна была быть произведена проверка на абсолютную сходимость. Нам тоже повезло и ряд, который приведён в задаче, действительно, абсолютно сходящийся, а потому произведённые манипуляции вполне правомерны. И сумма его посчитана действительно правильно.
Однако я предупреждал, что задачка там всё-таки юридическая. Ради того, чтобы обсудить, чему равна сумма геометрической прогрессии, нет никакой необходимости публиковать всё это на явно юридическом сайте. Юридический аспект этой задачи заключается в том, что всё дело происходит не в академической аудитории, а именно в суде. А у суда есть вполне определённый образ действий, который описан в соответствующем процессуальном законе. В соответствии как с ГПК РФ, так и с ГПК Украины в том случае, если для разрешения возникших вопросов по делу необходимы специальные навыки или знания, которыми сам суд не обладает, или во всяком случае не обязан обладать, суд имеет право произвести такое процессуальное действие, как назначение экспертизы. Перед экспертом ставятся определённые вопросы, на которые эксперт опять-таки не в произвольном, а в строго установленном законом порядке должен ответить, либо должен сообщить, что он ответить на них не может.
Что делать в последнем случае? — глухой вопрос. Ответа на него влёт я дать не могу. По-видимому, придётся руководствоваться отсутствием такого доказательства как заключение экспертизы. Те, кто полагает, что на каждый вопрос всегда во всякое время можно найти эксперта, ошибаются. Напомню, что есть некоторые математические проблемы, которые не разрешены пока никем и никто пока не смог доказать, что у них нет решения. Что бы вы стали делать, если бы в суде встал вопрос о проблеме Гильберта до разрешения её Г. Перельманом? Да и в состоянии ли, например, кто-то вот так просто найти человека, способного в суде пояснить, почему в доказательстве Г. Перельмана нет ошибки?
Теперь обратим внимание на условие задачи. Там на разрешение дела по существу влияет результат суммы ряда, но не процесс его получения! Для того, чтобы, собственно, исчислить эту самую сумму, естественно, никакие эксперты не нужны, а нужно просто произвести вычисления, которые обозначил представитель одной из сторон. Такого рода вычисления никак не выходят за пределы школьной программы.
Но!…
Всё это так, если только мы обоснованно уверены в верности способа действий такого вот представителя, выводящего конечную, несомненно, простую и вполне даже школьную формулу. Если это рассуждение верно, то в удовлетворении ходатайства о проведении экспертизы следует отказать, поскольку для вычисления результата, — напоминаю: только и исключительно результат влияет на рассмотрение дела по существу! — надо просто 100 : (1 — 0,1) = 100 : 0,9, что проделать можно без всяких-разных экспертов.
Однако, заметили оговорочку — «если только мы уверены в верности способа действий такого вот представителя, выводящего … формулу»?
А я вот тут только что показал две вещи сразу:
- обоснованно усомниться в правильности вывода может только и исключительно тот, кто владеет математикой за пределами программы юридического факультета;
- произвести такую проверку в рамках знаний, полученных по программе юридического факультета, невозможно.
Однако подвох тут заключается именно в том, что оба указанные выше момента на разрешение-то дела по существу никакого влияния не оказывают. Они оказывают влияние не на разрешение дела по существу, а на разрешение исключительно процессуального вопроса — вообще надо ли тут назначать экспертизу.
К тому же обоснованно усомниться, увидеть вопрос верности действий при вычислении способен только человек, который заведомо кое-что таки понимает в математике более, чем в объёме средней школы. Школьник, скорее всего (вундеркинды не в счёт!), вообще не усомнится. И большинство юристов — тоже. Во всяком случае именно обоснованно.
Обращаю ещё раз внимание, что в действительности для разрешения дела по существу никакой экспертизы как раз не надо, так как формула суммы геометрической прогрессии записана верно. Тогда получается, что назначение экспертизы в деле необходимо для разрешения не вопроса по существу его, а вопроса сугубо процессуального. Причём для того, чтобы вообще поставить вопрос перед экспертом строго по ГПК необходимо... как раз обладать знаниями, которыми, строго говоря, юрист может и не обладать. Нормальный математик довольно быстро ответит на вопрос: «Верно ли, что указанный ряд равен выведенной формуле?», несомненно, положительно. Он даже сможет и обосновать строго свой ответ, приведя теорему Римана, доказав её, а затем указав на абсолютную сходимость ряда и обосновав, что эта самая абсолютная сходимость даёт возможность вычислять сумму именно так, как это проделал представитель стороны, то есть как раз в пределах обязательных для суда знаний.
Вот тут-то как раз и «собака порылась»!
Вы вполне уверены, что любой судья и любой юрист вообще сходу поймёт доказательство теоремы Римана? Всё же для этого надо, кроме знаний (как раз знаний особых там не надо), ещё и некоторые навыки. Я вот, например, нет. И не потому вовсе, что считаю юристов имбецилами, а потому, что могу с полной уверенностью сказать, что такого рода навыки не только приобретаются довольно серьёзными тренировками решения математических задач, но даже и утрачиваются со временем, если они не поддерживаются едва ли не каждодневной практикой. Напоминаю, что даже очень способных к математике юношей и девушек довольно долго учат.
Да, я могу, если кому-то интересно, явным образом выписать доказательство теоремы Римана, но я-то всё же имею высшее математическое образование, и то, что, в общем-то, несложно для меня или для студента-второкурсника матфака, не обязательно несложно даже для академиков-лингвистов, например. А что, у всех юристов есть подобное образование?
Что же до всех рассуждений, которые я читал, что, дескать, такого рода условия договора недействительны, так как они — не для выпускника юридического факультета, а долг любого субъекта в зависимости от юрисдикции должен быть непременно ограничен объёмом эмиссионных обязательств центрального эмиссионного центра государства и прочего, то такого рода рассуждения не слишком имеют отношение к рассматриваемому предмету, а взятые сами по себе просто неверны. Ни одно из них! А вот почему — вопрос особый.