Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня продолжаем говорить об абстрактной математике. В одном из прошлых материалов я рассказывал Вам про одно из важнейших понятий алгебры - кольца.
Напомню, что кольцо в алгебре - это некое обобщение понятия "целые числа" в смысле свойств их самых привычных операций - сложения и умножения.
В кольце целых чисел у нас есть единичный элемент "0" по сложению (здесь объяснение, почему это так звучит), для каждого целого числа существует обратное по сложению (a + (-a) = 0), а произведение двух целых чисел представляет из себя целое число. Кроме того определены основные законы:
Если обобщить, то кольцо является абелевой (коммутативной) группой по сложению и полугруппой по умножению (если добавить единичный элемент "1" по умножению, то моноидом).
Но что, если из "недоделанной" полугруппы по умножению сделать её нормального старшего брата - группу?
Наличие группы по умножению позволит нам утверждать, что в новой, более совершенной алгебраической структуре для каждого элемента будет существовать обратный! И да, эта структура сможет носить гордое имя "поле".
В кольце целых чисел нет элемента Х, такого, что X * Y = 1, так же как и в этом кольце для числа 3 не подобрать обратного по умножению!
Другое дело в полях! Получить самое простое конечное поле (их еще называют полями Галуа) можно, сделал вычет по модулю любого простого числа:
Действительно, проверим, что у каждого элемента есть обратный:
Это значит, что мы действительно из полугруппы сделали группу, а из кольца - поле!
Это понятие возникло в большей степени как обобщение понятия "вещественные числа" - как некой плотной субстанции, не допускающей разрывов.
Однако, и более "разреженная" их версия - рациональные числа и числа из "другого мира" - комплексные, так же являются полями.
Здесь отмечу, что речь идет о комплексных числа, где a,b - вещественные. Например, гауссовы мнимые числа полем не являются:
Теперь позволю немного вернуться в начало статьи, в момент, когда речь шла о коммутативности умножения. В общем случае - оно не обязательно. Если от него отказаться, то мы получим обобщенную версию поля, имя которой - тело. Самым известным примером тела являются кватернионы:
Здесь привычный коммутативный закон уже не работает, необходимо следить за порядком множителей. Например, k * i = j, а i * k = - j. Все эти превратности как раз представлены на картинке выше.
В целом, понятие поля - одно из наиважнейших понятий абстрактной алгебры, которое нашло своё практическое применение в теории кодирования. криптографии, системах резервирования данных и связи.
- Спасибо за внимание!
- TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.