Найти тему
Математика не для всех

Как получить поле из кольца? Нужен всего лишь один шаг

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня продолжаем говорить об абстрактной математике. В одном из прошлых материалов я рассказывал Вам про одно из важнейших понятий алгебры - кольца.

Напомню, что кольцо в алгебре - это некое обобщение понятия "целые числа" в смысле свойств их самых привычных операций - сложения и умножения.

В кольце целых чисел у нас есть единичный элемент "0" по сложению (здесь объяснение, почему это так звучит), для каждого целого числа существует обратное по сложению (a + (-a) = 0), а произведение двух целых чисел представляет из себя целое число. Кроме того определены основные законы:

Ну как тут без звездочки! В стандартном определении кольца обычно не требуют коммутативности умножения
Ну как тут без звездочки! В стандартном определении кольца обычно не требуют коммутативности умножения

Если обобщить, то кольцо является абелевой (коммутативной) группой по сложению и полугруппой по умножению (если добавить единичный элемент "1" по умножению, то моноидом).

Но что, если из "недоделанной" полугруппы по умножению сделать её нормального старшего брата - группу?
Определение группы, конечно, подразумевает наличие единицы по умножению
Определение группы, конечно, подразумевает наличие единицы по умножению

Наличие группы по умножению позволит нам утверждать, что в новой, более совершенной алгебраической структуре для каждого элемента будет существовать обратный! И да, эта структура сможет носить гордое имя "поле".

Эварист Галуа. Источник: https://fsd.intolimp.org/html/2020/03/05/i_5e60dad6b2168/phpORyqir_proekt-velikie-matematiki_2.jpeg
Эварист Галуа. Источник: https://fsd.intolimp.org/html/2020/03/05/i_5e60dad6b2168/phpORyqir_proekt-velikie-matematiki_2.jpeg

В кольце целых чисел нет элемента Х, такого, что X * Y = 1, так же как и в этом кольце для числа 3 не подобрать обратного по умножению!

-4

Другое дело в полях! Получить самое простое конечное поле (их еще называют полями Галуа) можно, сделал вычет по модулю любого простого числа:

На картинке представлено поле с характеристикой 5
На картинке представлено поле с характеристикой 5

Действительно, проверим, что у каждого элемента есть обратный:

Кстати, в поле нет делителей нуля, а значит всякое поле - это область целостности. Обратное, в общем случае, не верно
Кстати, в поле нет делителей нуля, а значит всякое поле - это область целостности. Обратное, в общем случае, не верно

Это значит, что мы действительно из полугруппы сделали группу, а из кольца - поле!

Это понятие возникло в большей степени как обобщение понятия "вещественные числа" - как некой плотной субстанции, не допускающей разрывов.

Однако, и более "разреженная" их версия - рациональные числа и числа из "другого мира" - комплексные, так же являются полями.

Например, для любого комплексного числа можно получить обратное
Например, для любого комплексного числа можно получить обратное

Здесь отмечу, что речь идет о комплексных числа, где a,b - вещественные. Например, гауссовы мнимые числа полем не являются:

Теперь позволю немного вернуться в начало статьи, в момент, когда речь шла о коммутативности умножения. В общем случае - оно не обязательно. Если от него отказаться, то мы получим обобщенную версию поля, имя которой - тело. Самым известным примером тела являются кватернионы:

-8

Здесь привычный коммутативный закон уже не работает, необходимо следить за порядком множителей. Например, k * i = j, а i * k = - j. Все эти превратности как раз представлены на картинке выше.

В целом, понятие поля - одно из наиважнейших понятий абстрактной алгебры, которое нашло своё практическое применение в теории кодирования. криптографии, системах резервирования данных и связи.

  • Спасибо за внимание!
  • TELEGRAM и Facebook - там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.