Приветствую.
В статье пойдёт речь о перестановках (упорядоченных способах расположения некоторых элементов). Будет использовано комбинаторное правило умножения (см. статью автора о нём).
Откуда хаос?
Рассмотрим пример с книгами на полке. Вы берёте книгу, читаете её, а почитав, с большой вероятностью ставите её не на то место, где она изначально лежала. Так изначальный порядок как некоторое приятное глазу расположение книг (например, по алфавиту) переходит в хаос, неопрятность.
Почему это происходит?
Дело в том, что книги на полке могут лежать колоссальным множеством способов, и лишь некоторые из них нам приятны. Такие немногочисленные состояния мы именуем "красивыми", "упорядоченными", "понятными", "удобными", "информативными".
На примере книг рассмотрим количество способов расположить данное множество из N элементов в некотором порядке. Каждое из таких расположений называется перестановкой. Общее их количество – число перестановок.
Число перестановок
- Одна книга (А), очевидно, может располагаться на полке одной перестановкой (А).
- Две книги А и Б – двумя (АБ и БА).
- Три книги (А, Б и В) могут располагаться на полке шестью способами (перестановками): АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА.
- Добавим четвертую книгу (Г). Она увеличит число способов в четыре раза. Всего будет 24 способа расположения четырёх книг на полке. Действительно, мы уже знаем, что три книги могут лежать на полке шестью перестановками. Вдобавок, появляется ещё четыре потенциальных места (*) между АБВ, куда можно поместить четвертую книгу (Г): *АБВ, А*БВ, АБ*В, АБВ*. В каждом из четырёх указанных случаев можно "прокрутить" уже знакомые шесть способов расположения книг А, Б, В. Таким образом, "зафиксировав" книгу Г в одном из положений (*), мы прокручиваем уже знакомые шесть способов расположения книг А,Б,В. Т.е. всего способов 4*6=24.
- Так можно продолжать и дальше, отмечая, например, что пятая книга допускает помещение себя в 5 различных различных мест (*) между А, Б, В, Г: *АБВГ, А*БВГ, АБ*ВГ, АБВ*Г, АБВГ*. Значит пять книг может располагаться на полке 24*5=120 способами и т.д. Интересно, что 10 книг может располагаться на полке 3 628 800 способами. Вас ещё удивляет постоянный непроизвольно и непонятно откуда появляющийся беспорядок в комнате? Дело в том, что аналогичное верно не только для книг, а для всех вещей, находящихся в ней (одежда в шкафу, цветы в горшках, предметы на столе и т.п.).
Общее правило
Число перестановок Pₙ, которое можно составить из данных n элементов (n – натуральное) равно Pₙ = n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*1. Значок "!" называют факториалом. N! равно произведению всех натуральных чисел от 1 до N.
- Действительно, в примере с книгами на первое место можно поставить любую из данных книг (N).
- Для каждого выбора первой книги существует (N-1) вариантов выбора на второе место второй книги. Общее число вариантов становится равным N*(N-1).
- Далее, для каждого из N*(N-1) вариантов размещения первых двух книг существует (N-2) возможностей выбора на третье место третьей книги. Общее число вариантов растёт до произведения N*(N-1)*(N-2).
- Для каждого из N*(N-1)*(N-2) вариантов размещения трёх книг, существует (N-3) вариантов выбрать четвёртую книгу на четвёртое место. Общее число перестановок увеличивается до N*(N-1)*(N-2)*(N-3).
- <...>
- Наконец, для каждого из N*(N-1)*(N-2)*...*(N-(N-2)) вариантов выбора N-1 книг, существует лишь один (N-(N-1)) вариант выбрать последнюю (N-ную) книгу.
- Значит общее число перестановок действительно будет равно произведению: P=N!=N*(N-1)*(N-2)*...*(N-(N-2))*1. Именно такой порядок записи формулы является предпочтительным, ведь так соблюдается логика последовательного размещения элементов, показанная выше.
Число перестановок, которое относится к данному натуральному N можно условно называть количеством хаоса, относящимся к данному числу N или энтропией*, относящейся к данному натуральному N.
*статья автора об энтропии
Важные выводы
- Чем больше элементов в системе, тем сильнее она тяготеет к хаосу (т.к. растёт общее число способов существования системы и большинство из них очень вряд ли отвечает тем или иным "наведённым" сознанием человека критериям). Системы таковы, какие они есть; сознание же человека требует от них соответствия тем или иным привнесённым требованиям, которые далеко не обязательно будут соблюдены в системе.
- Лишь некоторые малочисленные способы существования системы отвечают весьма искусственным критериям красоты, порядка, опрятности, симметрии и т.п.
А если мы возьмём колоду из 52 игральных карт и хорошенько перемешаем её, то велика вероятность того, что никто во всей Вселенной до нас не держал её в таком же состоянии, как мы. Ведь число упорядоченных способов расположения 52 элементов приближённо равно 52! = 8*10^67 степени.
Подписывайтесь на канал, оставляйте комментарии и лайки.
Спасибо за внимание.
