Дугинов Л.А., L.duginov@mail.ru
В данной статье на базе программы Mathcad приводится простой метод расчёта сложных электрических цепей на постоянном токе с нелинейными сопротивлениями. Рассматривается только аналитический способ задания сопротивлениям вольт-амперных характеристик (ВАХ):
Ключевые слова: алгоритм расчёта, пример расчёта итерационный метод, сложные электрические цепи на постоянном токе, вольт-амперная характеристика (ВАХ), программа Mathcad.
Введение.
Все электрические сопротивления принято делить на линейные и нелинейные. Линейными называются резисторы, сопротивления которых не зависят от значения протекающего тока или приложенного напряжения.
В электронных устройствах (радиоприемниках, транзисторах и т. п.) широко используются малогабаритные линейные сопротивления. Сопротивление этих резисторов остается неизменным при изменении приложенных к ним напряжений или протекающих через них токов и поэтому данные сопротивления являются линейными. Нелинейными называются резисторы, сопротивление которых изменяется в зависимости от значения, приложенного напряжения или протекающего тока. Так, сопротивление осветительной лампы накаливания при отсутствии тока в 10—20 раз меньше, чем при нормальном горении. К нелинейным элементам относятся многие полупроводниковые приборы.
Напомним, что вольт-амперная характеристика (ВАХ) - это зависимость тока, протекающего через резистор, от напряжения на нем.
Нелинейные резисторы (HP), в отличие от линейных (ЛP), обладают нелинейными ВАХ характеристиками. Различают 3 типа нелинейных сопротивлений: 1- Статическое,
2- Дифференциальное, 3- Динамическое. Так как данная статья посвящена только безынерционным резисторам, работающим на постоянном токе, то дифференциальные и динамические сопротивления здесь не рассматриваются. Остаются только неуправляемые резисторы со статическим сопротивлением.
Статическое сопротивление.
Так как по определению величина статического сопротивления Rст равна отношению падения напряжения Ua на резисторе к протекающему через него току Ia, то для рис.1:
Rст = Ua / Ia = tg (α) (1)
Статическое сопротивление ещё можно определить графически как тангенс угла между прямой, проведенной из начала координат через рассматриваемую точку А вольт-амперной характеристики см.( рис. 1) и осью абсцисс: .
Рис.1 Определение величины статического сопротивления резистора по ВАХ в точке А.
Новый подход к понятию «статическое сопротивление».
ВАХ любого линейного сопротивления это прямая линия, проходящая через начало координат под некоторым углом (α1). Возьмём частный случай, когда угол α1= α, тогда эта прямая пройдёт через точку А (см.рис.1).
Если на рис.1 построить ещё ВАХ линейного сопротивления, которая прошла бы через точку А, то Rлин также определялось бы по формуле:
Rлин = Ua / Ia = tg (α) (2)
То есть величины линейного и статических сопротивлений резисторов полностью совпадают, да и сами формулы (1) и (2) носят явно линейную зависимость сопротивлений R от напряжения Ua и тока Ia. Конечно, при изменении величины падений напряжений Ua на сопротивлениях Rст и Rлин и величины сопротивления Rст и Rлин тоже изменятся, но зависимость сопротивлений Rлин от напряжения Ua и тока Ia останется линейной.
Значит, можно трактовать понятие «статическое сопротивление» не только как чисто математическую величину сопротивления Rст или как тангенс угла (α), определяемых по формуле (1), а как образование в точке А реального линейного сопротивления Rлин, что нам представляется более важным даже с чисто прикладных интересов - расчёта сложных электрических цепей на постоянном токе с нелинейными сопротивлениями резисторов. Между двумя линейными сопротивлениями Rст и Rлин нет принципиальной разницы, заключающаяся в том, что сопротивление Rлин тоже зависит от величины напряжения Ua как и в случае статического сопротивления Rст. Названия сопротивлений Rст и Rлин не носит принципиального характера, если не задумываться над физикой данного процесса. Важно, что в любой момент времени и при любом значении величины напряжения Ua зависимость сопротивлений Rстат от напряжения Ua и тока Ia останется линейной как показано в формуле (1). Как известно, электрическое состояние нелинейной цепи описывается системой нелинейных алгебраических уравнений, базирующихся на формуле (3) для элементарного участка ветви:
U = Ro· I^n (3) где:
I- ток, проходящий через сопротивление Ro,
n- показатель степени (нелинейности) ВАХ,
В тоже время, общих аналитических методов решения нелинейных уравнений не существует, поэтому в общем случае решение таких задач осуществляется численными методами математики с использованием современных вычислительных программ, и только при анализе и расчете простейших нелинейных цепей постоянного тока применяются графоаналитические методы.
Как будет показано ниже на примере расчёта нелинейной сложной цепи (рис.2), данная трактовка понятия «статическое сопротивление» как реального линейного сопротивления Rлин позволяет систему нелинейных алгебраических уравнений образованных на базе формулы (3) заменить на аналогичную систему линейных уравнений. Для этого необходимо заменить в формуле (3) нелинейное сопротивление Ro на линейное Rлин и соответственно считать показатель степени n =1 . Тогда для элементарного участка ветви вместо нелинейного уравнения (3) можно получить линейное уравнение (4):
U = Rлин · I (4)
где: Rлин - величина линейного сопротивления для выбранной по ВAХ величины тока I, I- ток, проходящий через сопротивление Rлин.
Однако, уравнение (4) нельзя использовать для вывода итерационной формулы расчёта линейного сопротивления Rлин, так как величина тока I должна быть равна реальному значению (пока неизвестному) значению величины тока, проходящего через данное линейное сопротивление Rлин. Практически это значит, что 4 параметра: падение напряжения U на сопротивлениях Ro, Rлин и ток I взаимно зависимы и не могут быть взяты произвольными величинами т.е. определяются только формулами (3) и (4). Соответственно, для замены нелинейного сопротивления Ro на линейное Rлин необходимо использовать или опытные данные (U и I), взятые из ВАХ, (тогда Rлин= U/ I) или рассчитывать Rлин по формуле (7), вывод которой приводится ниже.
Таблица 1
В табл.2 приведены результаты расчёта электрической цепи, показанной на рис.1, при задании ВАХ аналитически 3-х нелинейных сопротивлений: R1, R2 и R5=R5a+R5b
Расчёт выполнен для 2-х вариантов задания начальной величины тока: Iнач=1 А и 10 А, при этом одинакового во всех нелинейных сопротивлениях R1, R2 и R5. Линейные сопротивления Ro, R3 и R4 в процессе расчёта не пересчитываются.
Выполненные расчёты показывают (см. табл.2), что конечные результаты токов в и количество итераций во всех ветвях электрической схемы практически не зависят начальной величины выбранного тока Iнач.
Таблица 2
*-Примечание: значения тока Imi в числителе ----- при Iнач =1 А
значения тока Imi в знаменателе --- при Iнач =10А
Выводы:
1. Как показывает опыт расчётов сложных электрических схем, если в основу алгоритма пересчёта нелинейных сопротивлений берутся формулы (6-9), всегда обеспечивается надёжный и быстрый итерационный процесс расчёта.
2. В качестве начального приближения данный метод позволяет выбрать произвольно (в пределах ВАХ) величину начального тока для любого нелинейного сопротивления электрической схемы.
3. Величину начального тока допускается выбрать одинаковой для всех (без исключения) нелинейных сопротивлений электрической схемы.
4. Данная методика расчёта, разработанная для сложных электрических цепей, может быть использована при расчёте разветвлённых магнитных систем (постоянного тока) в том числе для гидравлических схем после соответствующей доработки.
Список литературы
1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. М., «Энергия», 1975.
2. Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Серия «Библиотека студента» - М.: СОЛОН-Пресс,2005
3. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
