Признаки делимости на 6

Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!

На нашем канале мы уже рассматривали признаки делимости на 3 и признаки делимости на 9. А как определить, делится ли число на 6? Ни в одном из известных мне учебников об этом ничего не говорится, но задачи, где надо вместо звёздочки поставить такую цифру, чтобы получилось число, кратное 6, время от времени школьникам задаются. Предлагаю вашему вниманию несколько заданий, которые решали на прошлой неделе ученики 5-го класса одной из школ Московской области.

Условие заданий:

Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 6 (рассмотрите все возможные случаи):

1) 407 932 27*; 2) 44 59* 116; 3) *27 864 112; 4) 9* 573 248.

Решение:

Разложим число 6 на простые множители: 6 = 2 * 3.

Из этого разложения мы видим, что если число делится на 6, то оно также делится на 2 и на 3. Следовательно:

Любое чётное число, которое делится на 3, делится и на 6 тоже.

При этом нечётные числа на 6 делиться не могут, так как при разложении на простые множители у нечётных чисел отсутствует множитель 2, который присутствует при разложении числа 6 на простые множители.

Напоминаю признаки делимости на 3 (§ 3 седьмого издания учебника по математике для 6-го класса авторов А. Г. Мерзляка, В. Б. Полонского и М. С. Якира под редакцией. В. Е Подольского):

1. Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то и само число делится нацело на 3.

2. Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.

1) Вычисляем сумму всех цифр числа 407 932 27* без последней цифры:

4 + 0 + 7 + 9 + 3 + 2 + 2 + 7 = 34.

Ближайшая в большую сторону к 34-ём число, которое делится на 3 – это 36. Для того, чтобы достичь этой суммы, на добавить цифру 2. А число, которое заканчивается на 2 – это чётное число, поэтому 407 932 272 делится на 6 без остатка. Кроме того, без остатка делится на 6 и число 407 932 278 – ведь если вместо звёздочки поставить 8, то сумма всех цифр будет 42, а 42 делится на 3 и числа, заканчивающиеся на 8 тоже являются чётными.

Ответ: 407 932 272 и 407 932 278.

В следующих трёх числах звёздочки вместо цифр стоят не в конце, а в начале или в середине, при этом заканчиваются числа на чётные цифры – то есть на 2 эти числа в любом случае делятся. Поэтому нам остаётся только поставить вместо звёздочек такие цифры, чтобы сумма всех цифр этих чисел делилась на 3.

2) Число 44 59* 116:

4 + 4 + 5 + 9 + 1 + 1 + 6 = 30.

Тридцать делиться на 3, поэтому вместо звёздочки можно поставить цифру 0, а также цифры 3, 6 и 9.

Ответ: 44 590 116, 44 593116, 44 596 116 и 44 599116.

3) Число *27 864 112:

2 + 7 + 8 + 6 + 4 + 1 + 1 + 2 = 31.

Тридцать один не делиться на 3, но если добавить ещё 2, то в сумме будет 33, которое делится на 3 без остатка. Поэтому вместо звёздочки можно поставить цифру 2, а также цифры 5 и 8 (ведь на 3 делится не только число 33, но и 36, и 39).

Ответ: 227 864 112, 527 864 112 и 827 864 112.

4) Число 9* 573 248:

9 + 5 + 7 + 3 + 2 + 4 + 8 = 38.

Тридцать восемь не делиться на 3, но если добавить ещё 1, то в сумме будет 39, которое делится на 3 без остатка. Поэтому вместо звёздочки можно поставить цифру 1, а также цифры 4 и 7 (ведь на 3 делится не только число 39, но 42 и 45 тоже).

Ответ: 91 573 248, 94 573 248 и 97 573 248.