Что такое "интеграл"? Удобнее всего, на мой взгляд, рассмотреть задачу о движении точки. За промежутки времени точка проходит какое-то расстояние. Можно ввести понятие средней скорости, поделив пройденный путь на время. Можно перейти к пределу, беря всё более мелкие интервалы, и получится мгновенная скорость: ее показывает спидометр, но она очень мало что говорит о пройденном пути. А вот пусть мгновенная скорость записывается в каждый момент времени и получается функция: зависимость скорости от времени. Как по ней определить пройденный за данное время путь?
Если скорость постоянна, то проблемы нет: умножаем скорость на время. Если кусочно-постоянна, то есть постоянна на отдельных отрезках, то тоже можно выкрутиться, посчитав пройденный путь на каждом куске отдельно и сложив.
Но в общем случае скорость не является кусочно-постоянной...
Идея Римана (хотя вроде такое делал ещё Ньютон) состоит в том, чтобы приблизить скорость кусочно постоянной, "округлив" ее на малых интервалах константой. При этом, конечно, вносится ошибка, но ошибка небольшая. Давайте ее оценим.
Пусть максимальное ускорение на всем пути у нас равно А, а какой-то интервал имеет длину S. Тогда ошибка при оценке скорости на этом интервале не больше, чем АS, ведь именно на столько скорость могла бы успеть измениться. Мы умножаем скорость на длину интервала, то есть ошибка в вычислении пути составит не больше, чем АS². Сложив ошибки по всем интервалам (это худший случай, если ошибки друг друга не компенсируют), получим, что ошибка не больше, чем Amax(S)T, где T — полное время пути. Все интервалы не длиннее самого длинного, его вынесем, а остальные в сумме дадут полное время.
Итак получается, что ошибка в исчислении пути зависит от длины самого длинного интервала, на которые мы разбили весь путь. И ошибку эту можно сделать какой угодно малой. Предел и называется интегралом Римана.
Пример: путь при равноускоренном движении. Ускорение а постоянно, начальная скорость равна нулю, далее аt. Разбиваем все время от 0 до Т на N равных частей (длины dt=T/N). В начале кусочка номер i скорость равна aidt, если нумеровать от нуля. Полагая, что в течение всего кусочка скорость не меняется, получаем путь aidt². Таких путей у нас N, надо просуммировать. Получится сумма i от 0 до N-1 (это школьная формула прогрессии), умноженная на постоянное adt². Сумма прогрессии есть
N(0+N-1)/2=N(N-1)/2. И мы приходим к
N(N-1)adt²/2 = (1-1/N)aТ²/2.
При больших N скобка неотличима от 1, и приходим к aТ²/2.
Конечно, так, по определению, вычисляют редко. Формула Ньютона-Лейбница позволяет сделать всё проще — если первообразная считается, конечно. Но это тема для отдельной беседы.
Давайте посмотрим, чем отличается подход Лебега.
Мы разбивали интервал времени на кусочки, и фиксировали скорость на каждом. А ведь можно поступить наоборот: разбить диапазон скоростей на кусочки, округлить весь кусочек до одного значения и посмотреть, в течение какого времени скорость была в этих пределах.
Для равномерного движения всё просто: скорость всегда постоянна, так что для всех кусочков, кроме одного, движения с такой скоростью вообще не было.
Для кусочно-постоянной скорости получается несколько кусочков, которые делят между собой всё время движения. Сумма в итоге получается такая же, как у Римана.
Пусть, скажем, мы час ехали со скоростью 100 км/ч, полчаса со скоростью 60 км/ч и потом еще полчаса со скоростью 100 км/ч. Каков полный путь?
По Риману, надо 1 час умножить на 100 км/ч, 0.5 умножить на 60 км/ч, 0.5 умножить на 100 км/ч и сложить, получив 180 км.
По Лебегу, надо 100 км/ч умножить на сумму 1 и 0.5, получив 150; 60 км/ч надо умножить на 0.5, получив 30; и сложить, получив те же 180.
На примере равноускоренного движения будет так. Скорость выросла от нуля до aT. Разбивая этот отрезок на N частей длины dv=aT/N, мы определяем длительность каждого движения. Она одна и та же, и равна T/N для всех. Скорость на нижнем краю интервала равна aTi/N, и мы приходим к той же сумме таких слагаемых: aT²i/N².
Но Лебег удобен для сильно варьирующих функций. Если скорость сильно росла/падала, то скорость из интервал "вот столько плюс-минус немножко" была несколько раз, на нескольких отрезках. И нам нужна их суммарная длина, то есть мера.
Если ввести меру на чем угодно, то и интегралы можно считать на чем угодно. Например, мера может быть вероятностной, и тогда у нас точки — возможные исходы, множества точек — события, мера на множествах — вероятность, интеграл Лебега по мере от функций — среднее значение функции в вероятностном смысле. Причем мера может быть атомарной, например монетка описывается парой точек, мера одной равна 0.5 и мера другой тоже 0.5. Множество, в которое попала одна из точек, имеет меру 0.5, а если обе, то мера 1. Измеримы все функции и среднее от них легко считается интегралом Лебега и совпадает с обычным матожиданием. Интеграл Лебега позволяет единообразно записывать результаты для всех случаев.
Но чисто в рамках матанализа интеграл Лебега является расширением риманового. Если оба существуют, оба совпадают. Но Лебег существует тогда, когда не существует Риман. Собственно, интеграл Лебега существует для любой измеримой функции, а неизмеримые функции строятся с применением аксиомы выбора, то есть это — экзоты за гранью практики. Хотя, как мы знаем, придуманные ужасы всегда оживают...
Пример неизмеримого множества строится легко на окружности. От окружности легко перейти к отрезку, удалив одну точку. Точки на окружности можно отождествить, если они совмещаются поворотом на рациональный угол (в оборотах). Скажем, диаметрально противоположные точки отождествляем, так как они совмещаются поворотом на полоборота. В этот же класс попадут точки, повернутые на четверть оборота, треть, пять седьмых и т.д., но явно не все. Получаются классы эквивалентных точек и их бесконечно много. Выберем по одной точке из каждого класса (привет, аксиома выбора!). Множество этих точек неизмеримо. Дело в том, что счетное объединение множеств, полученных из него поворотом на всевозможные рациональные углы, даст всю окружность конечной меры (длины). Однако если мера множества (и всех полученных из него поворотом) равна нулю, то и мера счетного объединения равна нулю. А если мера множества (и всех полученных из него поворотом) положительна, то счетное объединение непересекающихся равных по мере множеств даст бесконечность. Ни так, ни так не получается.
Пример функции, равной нулю в иррациональных точках и единице в рациональных, показывает, что интеграл Лебега существует тогда, когда не существует интеграл Римана, и дело не в расходимости. Просто риманову интегральную сумму можно сделать какой угодно, от 0 до 1, и единого предела при измельчении разбиения нет. А Лебегу все равно, лебегово разбиение дает только два значения "скорости", 0 и 1, и мера множества, на котором 0, равна 1, а мера множества, на котором 1, равна нулю. В итоге значения функции в рациональных точках вообще роли не играют и интеграл равен нулю.
Простыми словами, в процедуре Римана вам надо выбрать интервалы, пусть маленькие, на которых скорость "почти постоянна". В механике, если речь не идет об ударах, это нормально. Но если "скорость" сильно скачет, это трудно. У Лебега нужно считать сумму длин отрезков, на которых скорость была такая. Это "всегда" можно, а порой многочисленные кратковременные "выбросы" просто суммарно редки и роли не играют вообще. Лебег может их игнорировать, а Риман не может.
Однако есть случаи, когда существует интеграл Римана, но не существует интеграл Лебега. Это касается условной сходимости, в основном. Если интеграл Лебега для функции существует, то и для ее модуля тоже: понятия абсолютной сходимости нет, а значит, нет и понятия условной сходимости. У Римана условная сходимость есть. А это бывает важно.
Кстати, если интеграл для модуля функции существует, это не значит, что и для самой функции существует. Достаточно взять неизмеримое множество на отрезке, скажем, и его "индикатор": функцию, равную нулю вне множества и 1 на нем. Умножив индикатор на 2 и вычитая единицу, получим функцию, равную -1 вне множества и 1 на нем. Модуль тождественно равен 1 и интегрируем (если множество конечно, конечно), а вот сама функция неинтегрируема ни по Лебегу, ни по Риману.