Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня мы поговорим о таком понятии, как дифференциал и окончательно разберемся, что же его отличает от производной.
Начнем, как водится, с графика, на котором отразим график гладкой функции и касательную к нему в произвольной точке:
"Сжимая" приращение аргумента ∆х, мы тем самым уменьшаем приращение функции ∆y, а затем находим их частное в пределе. Таким образом мы получаем классическое определение производной функции в точке (о геометрическом смыслах я писал в этом материале):
Но где же здесь дифференциал? Давайте внимательно посмотрим на то, из чего состоит приращение значения функции при измении её аргумента. Очевидно, что состоит оно из двух особенных частей:
Чтобы понять, что есть что на этом рисунке, мы немного преобразуем формулу производной:
Уйдя от предела в формуле, мы заменяем его, добавив некоторую погрешность "эпсилон".
Вернемся на прошлый рисунок:
Оказывается, что наиболее интересной частью приращения функции, является её приращение относительно касательной, обозначенное зеленым цветом. Почему самая интересная? Дело в том, что при устремлении приращения аргумента к нулю, мы получим фактически формулу производной.
В какой-то степени эта интересная часть - линейная часть приращения функция - порождает производную. Ей и дано название дифференциал и соответствующее обозначение:
Напротив, ошибка эпсилон может быть нелинейной
Здесь требует пояснения, что мы определили дифференциал функции, но по аналогии можно пытаться найти и дифференциал аргумента. К счастью, здесь всё просто: всё приращение аргумента находится под касательной, поэтому:
А вот и еще одна формула для производной!
Теперь обратимся к самому просто применению дифференциала - приближенным вычислениям. Немного преобразовав последнюю формулу, получим замечательное приближенное равенство:
Теперь давайте что-нибудь вычислим! Например, значение функции в некоторой точке:
Вопросы абсолютной и относительной погрешности пока оставим в стороне. Спасибо за внимание! Теперь, если кто-нибудь в интернете назовет дифференциал производной или наоборот, Вы сможете сделать примерно это: