Найти тему
Математика не для всех

Главное школьное заблуждение: дифференциал и производная - это не одно и то же

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня мы поговорим о таком понятии, как дифференциал и окончательно разберемся, что же его отличает от производной.

Начнем, как водится, с графика, на котором отразим график гладкой функции и касательную к нему в произвольной точке:

"Сжимая" приращение аргумента ∆х, мы тем самым уменьшаем приращение функции ∆y, а затем находим их частное в пределе. Таким образом мы получаем классическое определение производной функции в точке (о геометрическом смыслах я писал в этом материале):

Но где же здесь дифференциал? Давайте внимательно посмотрим на то, из чего состоит приращение значения функции при измении её аргумента. Очевидно, что состоит оно из двух особенных частей:

-2

Чтобы понять, что есть что на этом рисунке, мы немного преобразуем формулу производной:

-3

Уйдя от предела в формуле, мы заменяем его, добавив некоторую погрешность "эпсилон".

Вернемся на прошлый рисунок:

-4

Оказывается, что наиболее интересной частью приращения функции, является её приращение относительно касательной, обозначенное зеленым цветом. Почему самая интересная? Дело в том, что при устремлении приращения аргумента к нулю, мы получим фактически формулу производной.

-5

В какой-то степени эта интересная часть - линейная часть приращения функция - порождает производную. Ей и дано название дифференциал и соответствующее обозначение:

Напротив, ошибка эпсилон может быть нелинейной
-6

Здесь требует пояснения, что мы определили дифференциал функции, но по аналогии можно пытаться найти и дифференциал аргумента. К счастью, здесь всё просто: всё приращение аргумента находится под касательной, поэтому:

-7

А вот и еще одна формула для производной!

Теперь обратимся к самому просто применению дифференциала - приближенным вычислениям. Немного преобразовав последнюю формулу, получим замечательное приближенное равенство:

-8

Теперь давайте что-нибудь вычислим! Например, значение функции в некоторой точке:

-9

Вопросы абсолютной и относительной погрешности пока оставим в стороне. Спасибо за внимание! Теперь, если кто-нибудь в интернете назовет дифференциал производной или наоборот, Вы сможете сделать примерно это:

-10
  • TELEGRAM и Вконтакте- там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.