Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.
общее уравнение прямой l
2x+y-3z-2=0
2x-y+z+6=0
Координаты точки М
(-1; 0; 3)
общее уравнение плоскости Р
x-2y+5z-6=0
Чтобы найти канонические уравнения линии, мы можем сначала найти вектор направления линии, взяв произведение нормальных векторов двух плоскостей:
n1 = <2, 1, -3>
n2 = <2, -1, 1>
вектор направления l = n1 x n2 = <2, -7, -4>
Тогда канонические уравнения l имеют вид:
x/2 = (y+2)/(-7) = (z-3)/(-4)
Для нахождения параметрических уравнений можно использовать точечно-нормальную форму уравнения плоскости, которая имеет вид:
n-(r-r0) = 0
где n - нормальный вектор плоскости, r - точка на плоскости, а r0 - известная точка на плоскости. Используя первое уравнение l, мы можем записать его в виде:
<2, 1, -3>-<x, y, z> = 2x + y - 3z = 2.
Решив для y и z, получим:
y = 7t - 2
z = -4t + 3
Подставляя эти выражения во второе уравнение l, получаем:
2x - (7t-2) + (-4t+3) + 6 = 0
x = 5t - 1
Таким образом, параметрические уравнения l имеют вид:
x = 5t - 1
y = 7t - 2
z = -4t + 3
Чтобы найти прямую, проходящую через точку M параллельно l, мы можем использовать вектор направления l и точку M для записи параметрических уравнений:
x = -1 + 2s
y = 7s
z = 3 - 4s
Чтобы найти расстояние между этой прямой и l, мы можем найти вектор между точками на каждой прямой и затем взять точечное произведение этого вектора с вектором направления одной из прямых. Выберем точку на l с t=0, а точку на новой прямой с s=0. Тогда вектор между этими точками имеет вид:
<2, -2, 6>
Точечное произведение этого вектора с вектором направления l равно:
2(2) - (-7)(-2) - 4(-3) = 0
Таким образом, прямые параллельны и расстояние между ними равно 0.
Чтобы найти проекцию M на l, мы можем воспользоваться формулой для проекции вектора u на вектор v:
proj_v(u) = (u-v / ||v||^2) v
где ||v||| - длина v. Используя вектор направления l как v и вектор из M в точку на l при t=0 как u, получаем:
proj_v(u) = (2(1) + 1(0) - 3(-3)) / (2^2 + (-7)^2 + (-4)^2) <2, -7, -4> = <10/29, -35/29, -20/29>.
Таким образом, проекцией M на l является точка (-1 + 10/29, -2 - 35/29, 3 - 20/29) = (-19/29, -93/29, 82/29).
Чтобы найти точку пересечения l и P, мы можем подставить уравнения l в уравнение P:
(5t - 1) - 2(7t - 2) + 5(-4t + 3) - 6 = 0.
Решив для t, получим t = 11/23. Подставляя это значение t в параметрические уравнения l, получаем точку пересечения:
x = 5(11/23) - 1 = 24/23
y = 7(11/23) - 2 = 45/23
z = -4(11/23) + 3 = 5/23
Таким образом, точкой пересечения l и P является (24/23, 45/23, 5/23).