Равномерная темперация в музыке

Октава есть музыкальный интервал, равный удвоению частоты звука.

Есть такой прием извлечения звука у струнных, флажолет. Он заключается в том, чтобы прикоснуться подушечкой пальца в середине звучащей струны. При этом в разложении в ряд Фурье энергия (и, значит, амплитуда) первой частоты уходит в палец (в ноль). За главную остается следующая гармоника, частота которой вдвое больше. Высота звука поднимается на октаву. Алексей Архиповский, что интересно, часто применяет этот прием на балалайке.

Октава делится на 12 равных интервалов, называемых полутонами. Почему тогда называется "октава", ведь "окто" это восемь? Потому что в гамме (до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до) зафиксировано 7 интервалов, а граничных частот, соответственно, 8. Теоретики музыки математическим образованием явно не были перегружены.

Вот, для примера, частоты звучания нот первой октавы:

Частота, Гц...Нота
261,63.........до
293,67.........ре
329,63.........ми
349,23.........фа
392,00.........соль
440,00.........ля
493,88.........си
523,26.........до 2 октавы

Возникает вопрос: полутонов 12, а интервалов между нотами 7. Как так получается? Оказывается, некоторые интервалы имеют размер в 2 полутона, или, иначе, тон. "Тон-тон-полутон...", помните из уроков музыки? Почему это так, понять трудно. Скорее всего, "так исторически сложилось", и мы привыкли хорошо воспринимать музыку, бегающую по гамме, а не по всем 12 полутонам.

Еще одна гипотеза. Начиная с Пифагора, принято иметь дело с интервалами, в которых отношение частот равно отношению не очень больших целых чисел. Вот и получилось 7 нот в октаве. И вообще, 7 — сакральное число. Такой принцип очень благоприятно сказывается на звучании, когда одновременно звучат 2 ноты или более. Но во всех других смыслах он оказывается очень неудобен. Например, фа бемоль получается не равно ми. Мелодия, исполняемая в Пифагоровом строе, плохо транспонируется на другую высоту звучания. Еще есть волчья квинта. Поэтому, начиная с XVIII века, в музыке господствует равномерная темперация. А 7 основных нот октавы просто подобраны по возможности близко к Пифагоровым.

Обратите внимание на то, что октава соответствует отношению частот, равному 2. Соответственно, и все интервалы измеряются не тем, насколько больше частота звука, а во сколько раз. Давайте составим таблицу интервалов в виде отношений частот:

ре/до..........293,67 / 261,63 = 1,1225
ми/ре.........329,63 / 293,67 = 1,1225
фа/ми........349,23 / 329,63 = 1,0595
соль/фа....392,00 / 349,23 = 1,1225
ля/соль.....440,00 / 392,00 = 1,1225
си/ля.........493,88 / 440,00 = 1,1225
до2/ля......523,26 / 493,88 = 1,0595

Теперь заметим, что 1,0595² = 1, 1225, и мы получаем как раз 5 интервалов по 2 полутона и 2 интервала в 1 полутон. Итого 12 полутонов.

Если нанести на числовой оси все частоты от до до до2, включая все полутона, то полученные 12 отрезков будут иметь различную длину. Точки разбиения будут выстроены плотнее слева, а направо разрежаться. Можете посчитать разности частот, чтобы убедиться в этом. Так какая же это равномерная темперация?

А вот если расположить на числовой оси логарифмы этих частот, то они равномерно распространятся по отрезку от 0 до ln 2. В этом смысле говорят о равномерности распределения по логарифмической шкале. Чтобы получить интервал в k полутонов, надо умножить исходную частоту на
exp(k / 12 · ln 2) = 2^(k / 12). [^ есть знак возведения в степень]

Учеными давно уже обнаружено, что человек воспринимает по логарифмической шкале многие параметры окружающей среды. Например, яркость. Если предъявить человеку 2 источника света с яркостями L1 и L2 и попросить подобрать L3 посередине между ними, то вероятнего всего будет не L1 – L3 = L3 – L2, а L1 / L3 = L3 / L2. Это и означает, что он воспринимает яркость по логарифмической шкале. Аналогично человек воспринимает громкость звука.

Разумеется, это имеет место до переполнения (насыщения) датчиков. В случае со зрением это означает выгорание зрительных пигментов при воздействии очень ярким светом. В случае громкости — приближение к болевому порогу.

Фотоаппарат определяет экспозицию, оценивая яркость — вслед за человеком — тоже по логарифмической шкале. Но об этом в следующей статье.

Замечание. Это все можно вычитать в разных источниках, включая Википедию. Если вы не боитесь быть с головой завалены музыкальной терминологией, то можно читать.