В рамках Недели науки в ТГТУ мы запускаем новую рубрику «Жизнь в науке, наука в жизни». В этой рубрике мы будем публиковать материалы ученых Тамбовского государственного технического университета об интересных фактах, явлениях, открытиях в разных областях науки. Открывает эту рубрику заведующий кафедрой «Высшая математика», кандидат физико-математических наук Александр Пчелинцев с материалом, посвященным динамическим системам.
В своей книге "Хаос. Создание новой науки" популяризатор науки Джеймс Глик написал, что XX век в физике будет памятен лишь благодаря созданию теории относительности, квантовой механики и теории хаоса. "Хаос развенчал Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем".
Есть такой парадокс Лапласа, который говорит о том, что всё в природе предопределено и предсказуемо. Этот тезис возник в начале развития теории дифференциальных уравнений. В природе все движения описываются уравнениями, решениями которых являются функции времени (например, координата частицы, температура в определённой точке тела и др.). Такие уравнения получаются из фундаментальных законов природы – II закона Ньютона, законов сохранения энергии, заряда, массы и др. Зная начальное состояние рассматриваемой физической системы, мы можем однозначно из решения системы уравнений определить её последующие состояния.
Однако в XX веке были получены такие уравнения, для которых, внося небольшую ошибку в начальное состояние системы, мы имеем через некоторое время совершенно другое состояние, например, температуры и скоростей воздушных потоков в атмосфере, – неустойчивость, создающая хаотическое поведение системы. Впервые это было сделано метеорологом Эдвардом Лоренцем в 1963 году, который получил нелинейную динамическую систему, описывающую движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины.
Потом стали появляться другие примеры динамических систем не только в гидродинамике, но и в механике, радиотехнике.
Для получения решений таких систем учёные обычно используют вычислительные алгоритмы, основанные на итерационных схемах вычисления значений приближений к неизвестной функции через некоторый шаг по времени. При построении приближений к решениям систем с хаотическим поведением данные методы дают значительные ошибки на больших отрезках времени из-за их неустойчивости.
Поэтому возникла идея разработки высокоточных численных методов для корректного вычисления приближений к таким решениям. Это удалось осуществить для динамических систем с квадратичными нелинейностями (система Лоренца одна из таких) в серии моих статей.
1. Пчелинцев А. Н. Численное и физическое моделирование динамики системы Лоренца // Сибирский журнал вычислительной математики. 2014. Т. 17. №2. С. 191-201. http://mi.mathnet.ru/rus/sjvm542
2. Lozi R., Pchelintsev A. N. A new reliable numerical method for computing chaotic solutions of dynamical systems: the Chen attractor case // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015. Vol. 25. Iss. 13. 1550187. 10 pp. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01323625/document
3. Lozi R., Pogonin V. A., Pchelintsev A. N. A new accurate numerical method of approximation of chaotic solutions of dynamical model equations with quadratic nonlinearities // Chaos, Solitons and Fractals. 2016. Vol. 91. P. 108-114. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01319597/document
4. Pchelintsev A. N. A numerical-analytical method for constructing periodic solutions of the Lorenz system // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2020. Iss. 4. P. 59-75. https://diffjournal.spbu.ru/pdf/20403-jdecp-pchelintsev.pdf
5. Pchelintsev A. N. On the Poisson stability to study a fourth-order dynamical system with quadratic nonlinearities // Mathematics. 2021. Vol. 9. Iss. 17. 2057. 18 pp. https://doi.org/10.3390/math9172057
6. Pchelintsev A. N. On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type // Mathematics. 2022. Vol. 10. Iss. 8. 1207. 12 pp. https://arxiv.org/pdf/2206.08195
Также мной был найден неустойчивый цикл в системе Лоренца с помощью специально разработанной численной схемы, основанной на методе гармонического баланса.
Кроме того, в моей работе, опубликованной в текущем году в журнале Mathematics, описано обобщение метода, которое можно применить для моделирования процессов в электрических цепях с переключением режимов работы, а также для систем взрывного типа. Этот класс систем очень редко рассматривается в литературе, поскольку на сегодняшний день нет подходящих методов нахождения приближённых решений таких систем, где функции, описывающие точные решения, имеют, как говорят первокурсники, вертикальные асимптоты. Они соответствуют моментам взрыва (например, ядерного или демографического). Классические численные методы, реализованные, например, в математических пакетах Mathcad, MATLAB, Maple и др., не дают возможности локализовать моменты взрыва, проскакивая их. Преимущество моей численной схемы как раз в том, что мы можем сколько угодно близко подойти к асимптоте, "не перепрыгнув" её, тем самым получить приближение к моменту времени резкого роста исследуемой координаты (например, концентрации вещества).
С 2016 года являюсь экспертом Российской академии наук по математике. Регулярно рецензирую статьи в зарубежных журналах – имею Reviewer Certificate от редакций журналов "Mathematical Methods in the Applied Sciences", "International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields", "Mathematics", "Symmetry", "Systems" и др.).
В этом году редакция журнала "Computation", который индексируется в Scopus (Q2 по Computer Science) и Web Of Science (Q2 по Applied Mathematics), предложила мне стать приглашённым редактором спецвыпуска "Mathematical Modeling and Study of Nonlinear Dynamic Processes". Он посвящён проблемам математического моделирования нелинейных динамических процессов.
https://www.mdpi.com/journal/computation/special_issues/Nonlinear_Dynamic_Processes
#ЖизньвнаукеТГТУ
