Как в тетрадке в клеточку нарисовать квадрат площадью 13 клеток так, чтобы все его вершины лежали на пересечениях сетки? А сколько существует способов нарисовать таким образом прямоугольник площадью 20 клеток?
Начиная с пятого класса, мы становимся мастерами по рисованию в тетрадке в клеточку прямоугольников с целочисленной площадью. Если площадь выражается простым числом — рисуем длинную "колбасу", шириной в одну клеточку, если составным — разбиваем на ряды и столбцы. Так мы знакомимся с понятием делимости чисел и с разложением чисел на множители. Всё просто и привычно. Однако вписать в сетку прямоугольник заданной площади можно и иначе. Вот, например, какими разными способами можно построить прямоугольники площадью в 4 или в 5 клеток:
Позволив линиям наклониться, мы открываем новое пространство вариантов и в нём простое число 5 можно представить квадратом.
Я предлагаю исследовать эти новые возможности и ответить на ряд вопросов: сколько существует способов построить прямоугольник заданной площади, используя для размещения его вершин узлы единичной решётки? Как получить исчерпывающий список таких способов? Что эта информация может сообщить о числе, которым выражается площадь? Какие числа можно представить квадратом, а какие нет?
Решетки и подрешётки
Нам привычно представление натурального числа в виде прямоугольника со сторонами, соответствующими разложению этого числа на множители. Если число имеет n делителей, включая единицу и себя, то мы получаем n/2 разных прямоугольников для чётного n и (n + 1)/2 — для нечëтного. Например, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 позволяют нарисовать 3 разных (неконгруэнтных) прямоугольника: 1×12, 2×6 и 3×4. В то же время, число 36 имеет 9 делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 и разлагается в 5 пар: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9, и 6×6. Наконец, простые числа имеют единственное представление, в виде произведения единицы на себя.
Разрешая себе использовать диагонали, мы открываем внутри регулярной квадратной решётки множество квадратных подрешёток, каждую из которых задают два натуральных числа. Вот некоторые из них:
Здесь пары чисел определяют, так называемый, генератор подрешётки: отрезок или вектор с координатами (a, b), который задает размеры и ориентацию элементарной ячейку подрешëтки.
Площади ячеек в каждой подрешётке, определяемой парой (a, b), равны a² + b². Перебирая пары взаимно простых чисел, можно перечислить возможные площади элементарных квадратов в подрешётках: 2, 5, 10, 13, 17, 25, 26, 29, 34, 37,... Все эти числа являются суммами квадратов. Получается, что для прямоугольника, площадь которого кратна сумме квадратов, существует способ его построения через соответствующую подрешётку.
Что объединяет суммы квадратов? Ещё в 1625 году Альберт Жирар заметил, что простые числа, дающие при делении на 4 остаток равный 1, можно представить, как сумму квадратов. Немногим позже, в 1640 году, Пьер Ферма в рождественском письме Мерсенну привёл более точную формулировку этого утверждения, а исчерпывающее доказательство было дано Леонардом Эйлером. С тех пор это свойство называют теоремой Ферма-Эйлера, или Рождественской теоремой Ферма.
Кроме того, ещё со времён Диофанта известно, что произведение сумм квадратов само является суммой квадратов. Это утверждение сейчас называется тождеством Брахмагупты-Фибоначчи. Отсюда следует общее утверждение:
Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда ни одно простое число вида 4k+3 не входит в его разложение на простые множители в нечётной степени.
Благодаря, этому свойству, можно для любого числа выяснить, на каких решётках можно разместить прямоугольник соответствующей площади.
Рассмотрим, в качестве примера, число 20. Перечислим его множители: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Вычисляя остатки от деления простых множителей на 4, обнаруживаем, что среди множителей только три числа являются суммами квадратов: 2 = 1² + 1², 5 = 1² + 2² и 10 = 2×5 = 1² + 3².
Выделим с их помощью три отдельные разложения числа 20:
20 = 2×(1×10) = 2×(2×5) на подрешётке (1, 1)
20 = 5×(1×4) = 5×(2×2) на подрешётке (1, 2)
20 = 10×(1×2) на подрешётке (1, 3)
Таким образом, кроме стандартных трёх прямоугольников, мы получили ещё 5 прямоугольников на трёх разных подрешётках. Итого, 8 представлений, не больше и не меньше.
На рисунке показаны все возможные прямоугольники с вершинами в узлах единичной сетки, с площадями от 1 до 20 клеточек:
Обратите внимание на то, как много при таком построении получается правильных квадратов. Их площади: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20,... Гораздо больше, чем на единичной решётке!
Примечательно, что для некоторых площадей способ построения прямоугольника остаётся единственным и тривиальным: в виде цепочки единичных квадратиков, вписанных в основную решётку. Вот эти площади: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83,... Это так называемые гауссовы простые числа, то есть, такие натуральные простые числа, которые не раскладываются в сумму двух квадратов. Согласно теореме Ферма-Эйлера, все такие числа должны, при делении на 4, давать остаток 3.
Что это было?
Регулярную квадратную решётку, которую мы использовали для рисования, в математике можно отождествить с кольцом гауссовых чисел. Это комплексные числа с целыми вещественной и мнимой частями. О кольцах мы подробно говорили в этой серии статей. Подрешётки являются идеалами в этом кольце, гауссовы простые числа — простыми элементами, а построение прямоугольников – разложением на множители вещественных целых чисел в этом кольце.
Например, легко убедиться в том, что 5 = (1 + 2i)(1 – 2i). Это и есть квадратик с площадью 5 клеток на подрешëтке (1, 2). Поищите на картинке разложения 20 = (2 + 4i)(2 – 4i) = (1 + 3i)(2 – 6i) = (2 + 2i)(5 – 5i).
Квадраты соответствуют полным квадратам в гауссовых числах, которых, действительно существенно больше, чем в целых числах. Причём, многие гауссовы числа имеют более одного представления в виде суммы двух квадратов. Таковы, например, числа 25 = 5² = 3²+4² или 169 = 13² = 5²+12². Их легко выявить, распознав в них пифагоровы тройки. Применительно к прямоугольникам это значит, что прямоугольник площадью 25 клеточек можно нарисовать либо как квадрат 5×5 на подрешётке (1, 1) либо, как квадрат 1×1 на подрешётке (3, 4).
Если интересно, отыщите все возможные прямоугольники с площадью 100 клеточек (их должно получиться 16 штук) и 2023 клеточек (6 штук).
Как видите, рисование простых прямоугольников по клеточкам может завести в непростые дебри теории чисел. Доброго всем дня от Енота математика!
О том, что можно, а чего нельзя изобразить на регулярных решётках, читайте в следующей статье:
