Всем привет, дорогие любители математики! Сегодня мы продолжаем разбираться с задачами из физтеха уже прошлого года. [С задачами, которые я хотел разобрать еще в ноябре, но...]
Итак, сегодня в номере отличная тригонометрия:
В оригинале нужно было найти разность tg x - tg y. Этим и займемся. Для начала поработаем со вторым уравнением. Разделим его на 2:
У нас получились некоторые табличные значения некоторых тригонометрических функций! Вспомним каких:
Если записать второе уравнение в такой форме, то сразу проглядывает формула синуса суммы. Умножим все на -1:
И соберем формулу:
Пока оставим второе уравнение "дозревать". Глянем на первое:
Почему бы не поменять косинус справа на синус (с помощью формул приведения):
Где-то такой угол мы уже видели, завершим начатое:
Итак, наша система превратилась в нечто более приятное [и компактное]:
Правые части почти одинаковы. Вычтем из первого уравнения второе:
Немного преобразуем:
Соберем сумму синусов в правой части:
Упростим:
Уже все очень красиво! Воспользуемся четностью косинуса:
Заметим, что если синус равен нулю, равенство верно:
Из первого уравнения системы получим:
Решим простейшее тригонометрическое уравнение:
Из первого же уравнения получим y:
Тогда, искомая величина:
Рассмотрим случай, когда синус не равен нулю. Тогда на него можно поделить:
Решим данное уравнение:
Значения угла могут быть различны. Чтобы не ошибиться рассмотрим две серии корней раздельно:
При таком y не определен тангенс. Этот угол не подходит. Возьмем другой:
Здесь с тангенсом все в порядке. Подставим опять в первое уравнение:
Воспользуемся формулами синуса разности и синуса суммы:
Сгруппируем:
Чтобы получить тангенс разделим на косинус:
Все, дело за малым:
Второе возможное значение найдено! Задача достаточно сложная, но решаемая. Смогли бы вы на олимпиаде решить ее за ограниченное время? Спасибо за внимание и удачи! Также советую посмотреть предыдущую:
И следующую задачи данной олимпиады:
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!