Всем привет, дорогие любители математики! Сегодня мы продолжаем разбираться с задачами из физтеха уже прошлого года. [С задачами, которые я хотел разобрать еще в прошлом ноябре, но...]
При каких значениях a и b неравенство верно на отрезке [-5/2; 7/2] при любых значениях x?
Давайте левую и правую части двойного неравенства обозначим за функции:
Найдем значения функций на границах отрезка (вычисления опустим):
Заметим, что функция f(x) — это половина окружности, а q(x) — парабола. Нарисуем эскиз:
Чтобы двойное неравенство имело решение, график третьей функции должен лежать между ними. Рассмотрим третью функцию:
Эта функция является прямой. Рассмотрим случай, когда прямая будет проходить через крайние точки параболы. Для этого подставим их в уравнение прямой:
Решим систему:
Итак, прямая будет иметь вид:
Далее заметим, что в случае, если эта прямая имеет два пересечения со вторым графиком, то решений не будет, а если одно — то решением будет эта самая прямая. Если пересечений нет, то потребуется дальнейший анализ. Найдем пересечения:
В результате преобразований получим:
Мы получили одно решение, а значит прямая, проходящая через крайние точки параболы также касается функции f(x). Если мы опустим прямую ниже, то она не будет пересекать параболу, но будет пересекать функцию f(x) в двух точках. Таким образом найденное решение единственно:
Задача сложная, но интересная! Спасибо за внимание и удачи! Также советую посмотреть предыдущую задачу данной олимпиады:
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!