Всем привет, дорогие любители математики! Творческий отпуск, как обычно затянулся — ну что поделать, как говорится работе — время, а хобби — час. Продолжим, где остановились, на очном этапе олимпиады прошлого года:
Условие стоит перечитать несколько раз, чтобы осознать, что же нам дано. Затем, конечно, построить чертеж:
Рассмотрим подробно треугольник NCP. Что в нем есть? Обратим внимание на угол NCP:
Запишем тангенс, как отношение катетов:
С другой стороны, теорема Пифагора:
Воспользуемся этими фактами:
Дальше — просто:
Отсюда:
Из тангенса найдем второй катет:
Продлим CP и NA до пересечения — точки O:
Заметим, что:
Тогда, AP — средняя линия в треугольнике NOC. Кроме того, NP и CP перпендикулярны. Тогда NP это и высота, и медиана. Значит можем сделать вывод, что треугольник NCO равнобедренный:
Заметим, что если AP средняя линия, то:
Значит, треугольник NAP тоже равнобедренный.
Рассмотрим треугольник CFP, точнее его угол CPF:
R — это, конечно, радиус окружности с центром в точке C. Теперь посмотрим в треугольник CPD:
Проведем цепочку дальше, к вертикальным углам:
В свою очередь, в равнобедренном треугольнике APO:
Но большой треугольник NOC тоже равнобедренный! Отсюда:
Итак, круг замкнулся:
А это значит, что треугольник BCP — равнобедренный:
Сколько тут равнобедренных треугольников? Ну еще пара найдется. Например, посмотрим в треугольник NBP:
С другой стороны:
Это потому что NP — высота. Итого:
Еще равнобедренный треугольник, теперь NBP:
Теперь пристально глянем на точку B и все что с ней связано:
Эти углы равны, как соответственные. Другая пара углов благодаря свойствам касательных:
Еще пара углов равна, как накрест лежащие:
По этой цепочке мы понимаем, что углы BQP и BPQ равны, а значит треугольник BPQ равнобедренный:
Таким образом у нас равны BP, BQ, BN и BC. А значит, можно провести окружность с центром в точке B:
Тогда углы NQC и NPC опираются на одну дугу, а значит равны:
На один из трех вопросов ответили. Двигаемся дальше. Заметим, что треугольники CFP и NPC подобны по двум углам. Тогда:
Найдем CF — радиус окружности:
Все, чтобы посчитать его, у нас есть:
Нам известно, что CF — радиус. Найдем синус искомого угла:
Итак, ответ на второй вопрос:
Осталось найти площадь NQDC. Вспомним некоторые факты, озвученные ранее:
Тогда треугольники NQB и CBP равны.
Кроме того:
Таким образом:
Получаем, что NQDC — это параллелограмм. Найдем его площадь:
Вот и ответ на третий вопрос. Довольно сложная и трудоемкая задача сегодня. Надеюсь, вы дошли до конца. Спасибо за внимание и удачи! Также советую посмотреть предыдущую:
И следующую задачи данной олимпиады:
Если вам понравилась задача, то ставьте лайк и подписывайтесь на канал. Математики будет много!