Простые числа — это такие натуральные числа, которые делятся только на единицу и на самих себя (имеют только два делителя). Все остальные натуральные числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам, т. к. у неё только один делитель — единица.
Самое маленькое (и первое) простое число — 2.
Следующие по возрастанию простые числа: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, ...
Ещё Евклид доказал, что множество простых чисел неограниченно, то есть не существует самого большого простого числа, ряд простых чисел уходит в бесконечность.
Мы видим, что все простые числа можно расставить по порядку, то есть каждому поставить в соответствие его порядковый номер в ряду простых чисел. Или, наоборот, каждому номеру {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} поставить в соответствие простое число: 0 — 2, 1 — 3, 2 — 5, 3 — 7, 4 — 11, 5 — 13, 6 — 17, ...
То же самое, например, с чётными натуральными числами: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... Или с нечётными натуральными: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... Иди с квадратными: 0, 1, 2, 4, 9, 16, 25, 36, ... Или с треугольными: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...
Для чётных, нечётных, квадратных, треугольных и многих других чисел можно легко обнаружить закономерность их появления я ряду натуральных чисел, которую можно выразить формулой, подставив в которую порядковый номер числа n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}, можно его вычислить. Чётное число: 2n, нечётное число: 2n+1, квадратное: n^2 (n в квадрате), треугольное: n(n+1)/2.
Для простых чисел такой формулы до сих пор не получено. Простые числа кажутся, на первый взгляд, расположенными абсолютно беспорядочно в ряду натуральных чисел.
Если вы такую формулу получите или докажете, что она не существует, то миллион долларов, как минимум, вам гарантирован.
Любое составное натуральное число может быть представлено как произведение простых чисел, причём единственным способом (это утверждение называется основной теоремой арифметики).
Примеры
6 = 2 · 3
77 = 7·11
128 = 2·2·2·2·2·2·2
100 = 2·2·5·5
Образно говоря, простые числа — это как бы кирпичики, из которых можно собрать (посредством операции умножения) составные числа.
Т. к. до сих пор не найдено формулы, описывающей все простые числа, и нет явных признаков, позволяющих с ходу отличить простое число от составного, то приходится выявлять простые числа, проводя большие вычисления (хотя алгоритм их отыскания ясен — например, решето Эратосфена, позволяющее определить все простые числа меньшие некоторого числа).
Простыми числами занимались многие знаменитые математики: К. Гаусс, П. Ферма, Р. Декарт, Л. Эйлер, А. Лежандр, Л. Дирихле. Сейчас их изучение составляет обширную область высшей арифметики.
В 1876 году было обнаружено очень большое простое число (2^127 - 1), состоящее из 39 десятичных цифр
2^127 – 1 = 170141183460469231731687303715884105727,
и только в 50-х годах прошлого века уже с помощью ЭВМ этот рекорд удалось побить. Затем прогресс компьютеров позволил быстро продвигаться дальше, и к 80-м годам уже были найдены первые 50 миллионов таких чисел. Самые большие из них содержали десятки тысяч цифр, и высшие достижения тут постоянно обновляются. На сегодняшний день самым большим известным простым числом является найденное в 2018 году число ( 2^82 589 933 − 1 ), в десятичной записи которого содержится 24 862 048 цифр. Работа по нахождению всё больших и больших простых чисел не представляет математического интереса (ведь самого большого простого числа не существует) и связана лишь с развитием вычислительных мощностей компьютеров и желанием устанавливать вычислительные рекорды. Математический интерес представляет лишь проблема распределения простых чисел в числовом ряду (и вычисление всё больших и больших простых чисел если и может быть математически полезным, то только с этой стороны).
Распределение простых чисел нерегулярно — то они идут кучно (101, 103, 107, 109), то между ними большие пробелы (113 и 127); тем не менее их появление подчиняется чётким статистическим закономерностям.
Немецкий математик Д. Цагир писал:
«Простые числа — самые капризные и упрямые из всех математических объектов. Они растут среди натуральных чисел как сорная трава, не подчиняясь, кажется, ничему, кроме случая, и никто не может предсказать, где взойдет следующее. Другой факт озадачивает еще больше, так как он состоит в прямо противоположном утверждении: эти числа демонстрируют удивительную регулярность, они с педантичной точностью следуют определенным законам».
В этой двойственной природе простых чисел заключена, по выражению Цагира, "непостижимая тайна творения". А великий Л. Эйлер даже говорил, что человеческий разум никогда в нее не проникнет.
Чем дальше по числовой оси, тем реже в среднем встречаются простые числа, то есть расстояния между ними растут, когда сами эти числа растут. Но это в среднем, а отдельные их представители могут вести себя совсем иначе. Так, среди них есть пары, отличающиеся всего на два: 29 и 31, 69 и 71, 101 и 103, 107 и 109 — их называют близнецами. Одна из важнейших нерешенных проблем: конечно или бесконечно множество близнецов?
Доказано удивительное утверждение: есть сколь угодно большие интервалы на числовой оси, не содержащие ни одного простого числа!
Основатель петербургской школы теории чисел П. Л. Чебышев в 1852 году доказал, что для каждого натурального числа N в интервале от N до 2N обязательно лежит простое число. Однако, учитывая нерегулярность в их появлении, можно было предположить, что бывают случаи, когда этот интервал много меньше (крайний случай — у близнецов). Сначала было доказано, что в среднем интервал равен ln N, в 1965 году — что вдвое меньший интервал будет встречаться бесконечное число раз, затем — что то же верно и для вчетверо меньшего интервала.
Американец Д. Еолдстон и турок К. Илдирим ещё более сузили этот интервал, хотя и не довели его до двух, то есть проблема близнецов пока устояла. Кроме того, они показали, что нет верхнего предела количества простых чисел, которые могут попасть в один такой интервал. По мнению специалистов, это большое достижение, поскольку каждый новый шаг на пути установления для своевольных простых чисел более узких границ дается со всё большим трудом.
Большие простые числа используют в системах шифрования информации.
Первоначально здесь.
