Откуда только математика не черпает свои идеи и методы: из бытовых нужд, из производства, из естественных наук и из неестественных … Одна на вид незамысловатая задача пришла к нам из мира искусства.
В 1525 году немецкий художник и теоретик искусства Альбрехт Дюрер опубликовал "Руководство к измерению циркулем и линейкой". Вообще-то это было руководство для художников, но оно оказалось еще первым учебником по геометрии на немецком языке.
В этой книге Дюрера впервые появились развертки многогранников. Видимо, этот прием он придумал сам; во всяком случае, не сохранилось данных о том, что кто-то рисовал развертки до него.
Чтобы получить развертку, многогранник разрезают по некоторым ребрам, а затем разворачивают эту поверхность на плоскость. Получается реберная развертка (бывают и нереберные, но это совсем другая история). Развертка должна состоять из одного куска и раскладываться на плоскость в один слой (чтобы грани не накладывались одна на другую).
Развертка дает полное представление о каждой грани многогранника, но по ней не всегда легко представить себе, как он выглядит. Зато развертку можно скопировать на лист бумаги, вырезать, сложить из нее многогранник и увидеть его своими глазами.
В школьных кабинетах математики иногда хранятся такие модели, сделанные учениками. Но любой ли многогранник можно склеить из реберной развертки? Ну или так: для каких многогранников можно нарисовать развертку? Это совсем не простой вопрос.
Условие для существования развертки найти оказалось сложно. Поэтому, как это бывает в математике, поиск идет так: один за другим постепенно отбрасывают «неподходящие классы» и сужают область поисков в надежде на то, что так и обнаружится «подходящий».
Некоторые классы многогранников удается исключить сразу. Возьмем кирпич и приклеим к нему совсем маленький кирпичик:
У этого многогранника одна грань дырявая. Как бы мы ни устраивали развертку, в эту дырку придется помещать грани от верхнего кирпичика, а это явно невозможно. Поэтому надо рассматривать многогранники с недырявыми гранями (гомеоморфными диску).
Но и этого требования для существования развертки недостаточно. Вот куб, у которого из середины каждого ребра выкусили маленький кубик.
Если его разрезать по всем ребрам большого куба, то получится больше одного куска, а это не развертка. А если по какому-то ребру не разрезать, то придется положить рядом на плоскость две грани большого куба. Тогда в дырку между ними не войдут грани выкушенного кусочка. Значит, у многогранников с невыпуклыми гранями развертка существует не всегда.
А если взять произвольный многогранник с выпуклыми гранями: у него обязательно существует развертка? Это уже совсем непростой вопрос, и ответ на него — нет. Контрпример в 1999 году придумал А.С.Тарасов.
Он брал куб, отрезал от него маленькие пирамидки вблизи вершин, и приклеивал на их место другие пирамидки, очень-очень вытянутые. У такого многогранника развертки не существует. Так что и выпуклости граней для существования развертки недостаточно.
Хотя у такого «колючего куба» все грани выпуклые, но сам он невыпуклый. Вопрос о выпуклом многограннике пока открыт. Никто не знает, верна ли гипотеза, которую условно называют гипотезой Дюрера:
у каждого выпуклого многогранника существует реберная развертка.
Пока не удалось ни придумать хотя бы один пример выпуклого многогранника без развертки, ни доказать, что она существует обязательно.
для любого N существует выпуклый многогранник, реберная развертка которого должна состоять как минимум из N компонент.
Если такой многогранник найдется хотя бы для N = 2, это будет означать, что гипотеза Дюрера неверна. А «анти-Дюрер» проясняет варианты положения дел в такой ситуации.
На данный момент не доказана ни гипотеза Дюрера, ни анти-Дюрер. Хотя формулировка проблемы под силу смышленому школьнику, нет в современной математике методов для ее решения.
Задачка. Первооткрывателем быть непросто, и Дюрер допускал ошибки в построении разверток. Найдите ошибку в этой развертке: