Всем привет, и давайте поговорим о кривизне пространства. Начнем с кривизны кривой и потом перейдем к кривизне поверхности и общему понятию. Постараюсь без формул.
Рассмотрим гладкую кривую. Гладкость означает, что при увеличении (под микроскопом, скажем) график в окрестности точки все более похож на прямую. Прямая, которая лучше всех приближает кривую в бесконечно-малой окрестности данной точки, называется касательной в данной точке.
График функции модуля |x| не гладкий в нуле: там острие. Оно, как не увеличивай, останется острием.
Приблизить кривую лучше, чем касательная, можно более сложными линиями, нежели прямая. Например, окружностью. Окружность, которая лучше всех приближает кривую в бесконечно-малой окрестности данной точки, называется соприкасающейся окружностью. Ее радиус --- это радиус кривизны, а кривизна --- обратное значение радиуса.
Теперь поговорим о поверхности. Возьмем для примера сферу. Представьте, что Вы стоите на Северном полюсе и смотрите в сторону Гринвича: в направлении нулевого меридиана. И вот вы идете прямо, не поворачиваясь относительно Земли. Проходите Гринвич и идете дальше, до экватора. На экваторе Вы, не поворачиваясь относительно Земли, идете боком четверть длины экватора. Затем спиной вперед идете на север до самого Полюса. Вы нигде не поворачивали относительно Земли! Однако смотрите уже не в сторону Гринвича, а на 90 градусов в сторону.
Здесь важно, что поворот получился в ту же сторону, что и обход контура. Если контур мал, то и поворот будет мал, однако отношение угла поворота к площади, охваченной контуром, стремится при уменьшении контура к конечной величине --- кривизне в данной точке. Для сферы кривизна во всех точках одинакова и равна 1/R^2.
Пример поверхности отрицательной кривизной --- это не "внутренняя часть сферы", как иногда говорят. Это перевал в горах, когда вперед и назад --- вверх по склону, а влево и вправо --- вниз. Там обход контура без поворота относительно Земли приведет к смене направления в противоположную сторону, нежели направление обхода.
На плоскости можно ввести какие угодно криволинейные координаты, а можно --- обычные декартовы. Но кривизна в любых будет нулевая --- она от выбора координат не зависит. А на произвольной гладкой поверхности кривизна в общем случае ненулевая, и координаты могут быть только криволинейные из-за кривизны самой поверхности.
Причем поверхность оказаться плоской, не будучи плоскостью. Например, цилиндр плоский. И конус тоже. Плоским может быть и тор, если его понимать как абстрактную поверхность, а не тело в трехмерном пространстве. Абстрактный тор --- это цилиндр, свернутый в трубку.
В пространстве кривизна определяется через двумерные направления, то есть, по сути, через кривизну вложенных в пространство двумерных поверхностей. В пространствах размерности выше второй основную роль играет тензор кривизны: набор коэффициентов, выражающий изменение вектора при обходе бесконечно-малого контура в данном двумерном направлении.
Теперь определим геодезические линии. Это линии минимальной кривизны, хотя формальное определение другое: это линии, для которых параллельно перенесенный касательный вектор остается касательным. Но для нас важно, что это линии с минимально возможной кривизной. На сфере --- это круги того же радиуса, что и сфера (большие круги).
Отрезки геодезических являются линиями кратчайшего расстояния между двумя точками, но только если точки достаточно близки. Например, через две точки сферы проходит геодезическая, которую эти точки делят на два куска: подлиннее и покороче. Короткий кусок является кратчайшим путем по сфере от одной точки до другой, а длинный --- нет. Он не является кратчайшим даже локально, среди близких к нему путей.
Эту ошибку --- считать длинную дугу локальным минимумом --- часто делают даже профессионалы!
Не является она, разумеется, и длиннейшим путем --- уж удлинить путь всегда можно. Все, что можно сказать про эту длинную дугу --- это что она стационарна. На ней вариация --- аналог производной --- длины равна нулю.
Геодезические можно назвать прямыми и строить геометрию по обычной схеме. На сфере получается сферическая геометрия. Все прямые пересекаются, при этом нарушается аксиома о том, что через две точки проходит ровно одна прямая. Через два полюса проходит много "прямых"! Аксиому заменяют на "через две достаточно близкие точки..." Сумма углов треугольника больше 180 градусов при положительной кривизне и меньше --- при отрицательной (это и есть тот самый поворот) --- уклонение прямо зависит от площади треугольника. Впрочем, о неевклидовых геометриях я расскажу в другой раз!